{ "cells": [ { "cell_type": "markdown", "id": "34943b28-eaff-46bb-90a3-c1e649d3906f", "metadata": { "tags": [] }, "source": [ "# Vollständigkeit und die Konstruktion der reellen Zahlen" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "636b4eb6-5958-483f-bdcf-7f2dfc2efc34", "metadata": {}, "source": [ "***" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "b2a21c82-3d9a-4547-9840-19fa6040c2a2", "metadata": { "tags": [] }, "source": [ "
\n", "Ziel des Notebooks:\n", "\n", "- Existenz der reellen Zahlen\n", "- Vertiefung des Verständnisses von reellen Zahlen\n", " \n", "Mathematische Tools:\n", " \n", "- Cauchy-Folgen\n", "- Äquivalenzklassen\n", "- Körper\n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "2c4ab0a6-c64a-41c8-95e5-f323ed77483c", "metadata": {}, "source": [ "Die reellen Zahlen wurden Ihnen vermutlich zu Beginn ihres Studiums als der vollständige, geordnete Körper definiert. Diese Definition enthält implizit, dass es (bis auf Isomorphie) nur einen vollständigen, geordneten Körper gibt. Einen Beweis der Eindeutigkeit der reellen Zahlen sollten Sie ebenfalls in Analysis I gesehen haben. Was allerdings zumeist in den Erstsemester-Vorlesungen übergangen wird, ist die Existenz der reelen Zahlen. Diese wollen wir in diesem Notebook beweisen, indem wir die reellen Zahlen explizit konstruieren. Dabei wird der Begriff der Vollständigkeit zentral sein, weil die reellen Zahlen die sogenannte Vervollständigung der rationalen Zahlen sind." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "10956753-3bbf-42c4-a8d9-216bf6437313", "metadata": {}, "source": [ "Ihnene sollte die Anwendungsvielfalt der reellen Zahl bereits bekannt sein, da sie Ihnen im bisherigen Studium bereits zahlreich begegnet sind. Durch die Konstruktion der reellen Zahlen möchten wir aufzeigen, warum sie so eine natürliche Struktur sind. Da die Konstruktion der reellen Zahlen die rationalen Zahlen als Ausgangspunkt hat, möchten wir zunächst die Existenz und \"Natürlichkeit\" von $\\mathbb{Q}$ erklären. Da das allerdings ein ganz eigenes Thema ist, werden wir darauf nur kurz eingehen. Der Exkurs soll eher zum Nachdenken und zu eigenständiger Recherche anregen." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "cc17f921-499b-434f-abf8-0c91e4d7385a", "metadata": {}, "source": [ "## Exkurs: Der Weg zu den rationalen Zahlen" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "6d6f57df-4d31-47b4-83c4-78d09761ea1e", "metadata": {}, "source": [ "Wir fangen sehr natürlich an - im Grunde so, wie die Mathematik entstanden ist: mit dem Zählen.\n", "
\n", "Man zählt gleichartige Dinge - sagen wir, Sie sind Hirte und wollen vermeiden, dass Ihnen ein Schaf verloren geht. Sie haben in dem Sinn gleichartige Objekte, dass Sie keinen Unterschied zwischen verschiedenen Schafen machen.
\n", "Um nicht die Übersicht zu verlieren, machen wir für jedes Schaf eine Kerbe in unseren Hirtenstab. Wir starten mit $|$, dann erhalten wir $||$ etc. Als Mathematiker fragen wir, ob wir diese Symbole mit Bedeutung belegen können. Für gewöhnlich wird Mathematik auf mengentheoretischer Grundlage betrieben. Das \"einfachste\" Objekt, das uns damit zur Verfügung steht, ist damit $\\emptyset$. Wir belegen $|$ also mit der Bedeutung $\\emptyset$. Da syntaktisch $| \\not = ||$, wollen wir $||$ mit einer neuen Bedeutung belegen. Wir definieren $|| := \\{\\emptyset\\}$. Analog sagen wir: $|||:=\\{\\{\\emptyset\\}\\}=\\{||\\}$. Sie erkennen das Muster: Die Bedeutung von $n$ Kerben ($n \\in \\mathbb{N}$) ist $\\{x\\}$, wobei $x$ die Bedeutung von $n-1$ Kerben ist (Mit der Notation von $n\\in \\mathbb{N}$ greifen wir natürlich vor. In der mathematischen Logik lernt man, wie man das vermeiden kann und alles von vorne formal aufzieht). Die Operation $\\{\\cdot\\}$ nimmt offensichtlich die Rolle von $\\cdot +1$ in $\\mathbb{N}$ ein. Durch $n$-faches Anwenden dieser Operation erhalten wir also $\\cdot+n$ für jedes beliebige $n \\in \\mathbb{N}$. Wir erhalten also eine Struktur, die isomorph zu $(\\mathbb{N}, +)$ ist, in anderen Worten: Wir haben die natürlichen Zahlen konstruiert (wir haben dabei natürlich nur eine von vielen möglichen Konstruktionen betrachtet. Siehe auch [Von Neumanns Modell der natürlichen Zahlen](https://de.wikipedia.org/wiki/Nat%C3%BCrliche_Zahl#Von_Neumanns_Modell_der_nat%C3%BCrlichen_Zahlen))." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "26f2f74f-a4ab-46fa-ac04-035874d6b4a0", "metadata": {}, "source": [ "Genauso, wie wir die Addition mit $1$ mehrfach durchführen können, können wir die Addition mehrfach durchführen. Wir definieren $z\\cdot g$ für $z\\in \\mathbb{Z}$ als $z$-fache Summe von $g$ mit sich selbst, falls $z>0$. Falls $z<0$ ist es die $|z|$-fache Summe der Inversen von $g$. Für $z=0$ ist es das Neutralelement in $(G,+)$, wobei $g\\in G$ Elemente einer abelschen Gruppe $G$ ist (Jede abelsche Gruppe wird auf diese Weise zum $\\mathbb{Z}$-Modul). Wählen wir $G=\\mathbb{Z}$ erhalten wir damit den Ring $(\\mathbb{Z},+,\\cdot)$." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "1cf963d5-6af9-43d9-8b2f-fa8e15a12e19", "metadata": {}, "source": [ "Analog dazu, wie wir die Halbgruppe $(\\mathbb{N},+)$ zu einer Gruppe $(\\mathbb{Z},+)$ gemacht haben, weil wir die Inversen zum Rechnen brauchten, fügen wir multiplikative Inverse zu $(\\mathbb{Z},+,\\cdot)$ hinzu und erhalten den Körper $(\\mathbb{Q},+,\\cdot)$; wir haben den sogenannten [Quotientenkörper](https://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenk%C3%B6rper) von $(\\mathbb{Z},+,\\cdot)$ gebildet. Das ist für jeden Integritätsbereich möglich." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "52a3e69d-724b-4c07-b4c8-c017f2f23aac", "metadata": {}, "source": [ "## Vervollständigung" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "c39d4f28-307b-450d-b535-987beac5a720", "metadata": {}, "source": [ "Nun können wir uns dem eigentlichen Thema widmen - der Konstruktion der reellen Zahlen, unserem Existenzbeweis.
\n", "Die reelen Zahlen können auf verschieden Weisen konsturiert werden. All diese Konstruktion sind aber Manifestationen desselben Prinzips, welches sich Vervollständigung nennt." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "4f9d7e56-e8ad-4b91-a231-d07f019f6589", "metadata": {}, "source": [ "
\n", " \n", "### Definition - Vollständigkeit\n", "***\n", "\n", "Wir nennen einen Raum $X$ vollständig, wenn in ihm jede Cauchy-Folge konvergiert. Nicht vollständige Räume nennen wir unvollständig.\n", " \n", "Bemerkung: In der Definition steckt implizit, dass für $X$ definiert ist, was eine Cauchy-Folge ist und was Konvergenz bedeutet - wir werden später noch genauer darauf eingehen, was mit solch einem \"Raum\" gemeint ist. Sie können bei $X$ aber zunächst an einen normierter Vektorraum denken, für den Sie diese Konzepte schon kennen.\n", " \n", "Wir erinnern: Sei $(V,\\lVert\\cdot\\rVert)$ ein normierter Vektorraum, $A$ Teilmenge $V$, $(x_n)_{n \\in \\mathbb{N}} \\subseteq A$ eine Folge in $A$, dann nennen wir\n", "- $(x_n)_{n \\in \\mathbb{N}}$ genau dann eine Cauchy-Folge, wenn $\\forall \\epsilon > 0 \\:\\exists N \\in \\mathbb{N}: n,m>N \\Rightarrow \\lVert x_n-x_m \\rVert<\\epsilon$\n", "- $(x_n)_{n\\in\\mathbb{N}}$ genau dann konvergent gegen $x \\in V$, wenn $\\forall \\epsilon > 0 \\:\\exists N \\in \\mathbb{N}: n>N \\Rightarrow \\lVert x_n-x \\rVert<\\epsilon$. Wir schreiben: $x_n \\rightarrow x$\n", "\n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "4fa0d6ed-8408-4cd3-b9fb-0cdece71debf", "metadata": {}, "source": [ "Beispiele Vollständigkeit: $\\mathbb{R}$ ist vollständig, $\\mathbb{Q}$ ist unvollständig, $\\mathbb{Z}$ ist vollständig (Dabei legen wir stets $(V,\\lVert\\cdot\\rVert)=(\\mathbb{R}, |\\cdot|)$ zugrunde).
\n", "Beispiel Cauchy-Folgen & Konvergenz: $(\\frac{1}{n})_{n\\in\\mathbb{N}}$ ist eine Cauchy-Folge und konvergiert in $[0,1]\\subseteq \\mathbb{R}$, aber nicht in $(0,1]\\subseteq\\mathbb{R}$." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "df63d8b8-5b1f-47a9-9eea-a9b041da1fb3", "metadata": {}, "source": [ "Wir möchten Ihnen das Prinzip der Vervollständigung möglichst abstrakt nahebringen. Sie sollen erkennen, dass Vervollständigung kein Verfahren ist, das einmalig Anwendung erfährt, um die reellen Zahlen zu konstruieren. Vielmehr lässt sich jeder unvollständige Raum vervollständigen.\n", "\n", "Wir möchten daher zunächst darauf eingehen, über welche Struktur ein Raum verfügen muss, damit man ihn vervollständigen kann. In der Definition von Vollständigkeit haben wir bereits angedeutet, dass der Raum über die Begriffe Cauchy-Folge und Konvergenz verfügen muss. Tatsächlich reichen diese Anforderungen auch schon aus.
\n", "Damit sind abstraktesten Räume, die sich vervollständigen lassen sogenannte [Cauchy-Räume](https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_space). Ein Cauchy-Raum ist ein Tupel $(X,\\mathscr{C})$, wobei $X$ eine Menge und $\\mathscr{C} \\subseteq \\mathscr{P}(\\mathscr{P}(X))$ eine Menge von [Filtern](https://de.wikipedia.org/wiki/Filter_(Mathematik)#Anwendungen_in_der_Topologie) ist (Filter sind eine Abstraktion von Folgen, die nützlich ist, weil Folgen als Abbildungen von der abzählbaren Menge $\\mathbb{N}$ nach $X$ in gewissem Sinne \"zu wenige\" Elemente für ein sinnvolles Konvergenzkonzept haben). $\\mathscr{C}$ erfüllt gewisse Eigenschaften (siehe auch dafür \"[Cauchy-Raum](https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_space)\"), sodass es sinnvoll ist Elemente aus $\\mathscr{C}$ als Cauchy-Filter zu bezeichnen.
\n", "Wir wissen damit was es in $X$ heißt eine Cauchy-\"Folge\" zu sein. Zusätzlich induziert $\\mathscr{C}$ ein [Konvergenzkonzept auf $X$](https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_space#Properties_and_definitions), weshalb der Raum $(X,\\mathscr{C})$ alle Voraussetzungen erfüllt, um ihn zu vervollständigen." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "10c1d108-c5c9-4d05-af75-778435f665d8", "metadata": {}, "source": [ "Auf reine Cauchy-Räume trifft man jedoch eher selten in der mathematischen Praxis, weil Sie zu abstrakt sind, um sinnvolle Aussagen zu treffen (wie der Name schon nahelegt, wurde der Raum so konstruiert, dass man noch gerade so genug Struktur hat, um zu definieren, was es heißt eine Cauchy-Folge zu sein. Cauchy-Räume haben damit \"zu wenig\" Struktur, um - außerhalb eines sehr begrenzten Bereichs - sinnvoll mit Ihnen zu arbeiten).
\n", "Es kann dennoch sehr lohnend sein, sich mit ihnen auseinanderzusetzen, weil dadurch eben sehr deutlich wird, welche Eigenschaften des Raumes für die Vollständigkeit des Raumes ausschlaggebend sind. Die Räume, in denen wir arbeiten, sind nämlich alle auf natürliche Art und Weise Cauchy-Räume und ihre Definition von Vollständigkeit ist ein Spezialfall des sehr abstrakten Definition von Vollständigkeit für Cauchy-Räume." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "a2f78e75-89d0-4d4a-ba6e-94de7e4bb388", "metadata": {}, "source": [ "Aus den genannten Gründen führt man das Konzept von Vollständigkeit häufiger für sogenannte [uniforme Räume](https://de.wikipedia.org/wiki/Uniformer_Raum) ein. Das sind Räume definiert man Nachbarschaften. Diese erlauben dann wieder die Definition von Cauchy-Folgen/-Filtern und Konvergenz. Des Weiteren verfügen Sie über genügend Struktur, um [gleichmäßige Stetigkeit](https://de.wikipedia.org/wiki/Uniformer_Raum#Gleichm%C3%A4%C3%9Fig_stetige_Funktionen) sinnvoll zu definieren (das ist der Grund, warum sie in gewissem Sinne \"spannender\" sind, als Cauchy-Räume)." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "ea19a8d9-5879-4ae8-ad72-739271573810", "metadata": {}, "source": [ "Da auch diese Räume auf das Konzept von Filtern zurückgreift, werden wir uns stattdessen der Vervollständigung metrischer Räume widmen." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "70e4757b-e937-4d92-8d2e-29fc5d2d7f3f", "metadata": {}, "source": [ "
\n", " \n", "### Freiwillige Recherche-Aufgabe\n", "***\n", " \n", "Informieren Sie sich darüber, was ein Filter ist und wie sich Konvergenz für Filter definieren lässt. Überlegen Sie sich (nach Beendigung des Notebooks) wie sich die kommenden Abschnitte des Notebooks verallgemeinern lassen, wenn man die folgende Definition von Vollständigkeit verwendet:\n", "- Ein (Cauchy-)Raum $X$ heißt vollständig, wenn jede Cauchy-Folge in ihm konvergiert\n", " \n", "Hinweis: Nutzen Sie die Links im obigen Text für Ihre Recherche. \n", "\n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "f8e103bf-4f3c-4a6f-9d33-00eb371d19bb", "metadata": {}, "source": [ "### Vervollständigung in metrischen Räumen" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "12d7a366-817a-44c6-8124-e866ae388de6", "metadata": {}, "source": [ "
\n", " \n", "### Definition - Metrischer Raum\n", "***\n", "Sei X eine Menge, dann bezeichnen wir $d:X\\times X \\rightarrow \\mathbb{R}$ genau dann als Metrik auf $X$, wenn für beliebige $x,y,z \\in X$\n", "- $d(x,y) \\geq 0$ und $d(x,y)=0 \\iff x=y$ (Positive Definitheit)\n", "- $d(x,y)=d(y,x)$ (Symmetrie)\n", "- $d(x,z) \\leq d(x,y) + d(y,z)$ (Dreiecksungleichung)\n", " \n", "Ist $d$ eine Metrik auf $X$ bezeichnen wir $(X,d)$ als metrischen Raum.\n", " \n", "Wir können Cauchy-Folgen und Konvergenz nun auch wie folgt für metrische definieren:\n", "- Wir nennen $(x_n)_{n\\in \\mathbb{N}} \\subseteq X$ genau dann eine Cauchy-Folge, wenn $\\forall \\epsilon>0 \\:\\exists N \\in \\mathbb{N}:n,m>N \\Rightarrow d(x_n,x_m) < \\epsilon$\n", "- Wir sagen $(x_n)_{n \\in \\mathbb{N}}\\subseteq X$ konvergiert genau dann gegen $x$ (geschrieben: $x_n \\rightarrow x$), wenn $\\forall\\epsilon>0 \\:\\exists N \\in \\mathbb{N}:n>N \\Rightarrow d(x_n,x) < \\epsilon$\n", " \n", "Die Definition von Vollständigkeit können wir übernehmen:\n", "- Eine Teilmenge $A\\subseteq X$ von $X$ heißt genau dann vollständig, wenn für jede Cauchy-Folge $(x_n)_{n \\in \\mathbb {N}}$ ein $x \\in A$ mit $x_n \\rightarrow x$ existsiert.\n", " \n", " \n", "Seien $(X,d_X)$ und $(Y,d_Y)$ metrische Räume, dann heißt $\\varphi: X \\rightarrow Y$ genau dann Isometrie, wenn $\\forall x,y\\in X: d_X(x,y) = d_Y(\\varphi(x),\\varphi(y))$.
\n", "$(X,d_X)$ und $(Y,d_Y)$ heißen isometrisch isomorph, wenn es eine bijektive Isometrie zwischen Ihnen gibt.\n", " \n", "Bemerkung: Eine Metrik $d$ auf $X$ gibt uns für zwei Elemente $x,y\\in X$ sozusagen einen Abstand $d(x,y)$.\n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "268eac68-f59c-426a-901c-a559ebeec327", "metadata": {}, "source": [ "Beispiel: $(\\mathbb{Q},d(x,y):=|x-y|)$ ist ein metrischer Raum. Jeder Teilmenge $A$ eines normierten Vektorraums $(V,\\lVert\\cdot\\rVert)$ ist ein metrischer Raum $(A,d(x,y):=\\lVert x-y\\rVert)$." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "c980187a-f898-4efc-85f2-7ee41f6df364", "metadata": {}, "source": [ "Gennau genommen wollen wir in diesem Notebook ja die Existenz der reellen Zahlen Beweisen, weshalb wir eigentlich nicht $\\mathbb{R}$ als Zielbereich von $d$ definieren können. Nun ist aber $d(x,y) = |x-y| \\in \\mathbb{Q} \\subseteq \\mathbb{R}\\forall x,y\\in\\mathbb{Q}$. Daher können wir, bis wir die Existenz von $\\mathbb{R}$ bewiesen haben, den Zielbereich von $d$ durch $\\mathbb{Q}$ austauschen und die Definition ansonsten übernehmen.
\n", "Um Vervollständigungen aber für allgemeine metrische Räume zu verstehen, arbeiten wir mit der oben angegebenen Definition." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "fbab4a5b-e45f-42b0-bdfa-303f404c370d", "metadata": {}, "source": [ "Wir definieren zunächst, was es heißt eine Vervollständigung zu sein und zeigen danach, wie man die Vervollständigung im Allgemeinen konsturiert. Wir benötigen dafür zunächst einige Begriffe aus der [Topologie](https://de.wikipedia.org/wiki/Topologie_(Mathematik)#Topologischer_Raum)." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "1eb1cacb-28a3-4126-8dbd-39b5b00baff2", "metadata": {}, "source": [ "
\n", " \n", "### Definition - Topologische Begriffe im metrischen Raum\n", "***\n", "Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum. Wir definieren die $\\epsilon$-Umgebung $B_\\epsilon(x) \\subseteq X$ um $x\\in X$ wie folgt: $B_\\epsilon(x) := \\{y\\in X| d(x,y)<\\epsilon\\}$.\n", " \n", "Ein $y\\in U \\subseteq X$ heißt genau dann innerer Punkt von $U$, wenn $\\exists \\epsilon >0: B_\\epsilon(y) \\subseteq U$. Wir nennen $U$ genau dann Umgebung von $z\\in X$, wenn $z\\in U$ und $z$ innerer Punkt von $U$ ist.\n", " \n", "Wir nennen $U$ genau dann offen in $X$, wenn $U$ Umgebunge jeder seiner Punkte ist, d.h.: $\\forall x \\in U \\exists \\epsilon >0 : B_\\epsilon(x)\\subseteq U$\n", " \n", "Sei $D\\subseteq X$, dann bezeichnen wir $\\bar{D} := \\bigcap_{A\\in M}A$ als den Abschluss von $D$, wobei $M:=\\{A\\subseteq X | D\\subseteq A \\land A \\text{ abgeschlossen}\\}$.\n", " \n", "$D$ liegt genau dann dicht in $X$, wenn $\\bar{D}=X$.\n", " \n", "$x \\in X$ ist genau dann Häufungspunkt von $D$, wenn es keine zu $D$ disjunkte $\\epsilon$-Umgebung von $x$ gibt, d.h.: $\\forall \\epsilon >0: B_\\epsilon(x) \\cap D \\not = \\emptyset$\n", " \n", "\n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "0b114d74-e654-44eb-8449-a552fe355674", "metadata": {}, "source": [ "
\n", " \n", "### 1. Aufgabe\n", "***\n", "1) Geben Sie ein Beispiel für eine Menge, die dicht in $\\mathbb{R}$ liegt.\n", "2) Berechnen Sie den Abschluss von $\\{\\frac{1}{n}| n \\in \\mathbb{N}\\} \\subseteq \\mathbb{R}$.\n", "3) Konstruieren Sie eine Metrik $d$ auf $\\mathbb{R}$, sodass jede Einpunktmenge offen bzgl. $d$ ist.\n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "3390320f-5dfa-44a6-bcf9-227e0c975bf8", "metadata": {}, "source": [ "
\n", "Denkanstoß: Finden Sie Charakterisierungen von Dichtheit und Abgeschlossenheit?\n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "f436b7dd-b0b4-48d7-b985-c33c8cb5d7a4", "metadata": {}, "source": [ "Aus der Definition des Häufungspunktes folgt direkt, dass es zu einem Häufungspunkt $x \\in X$ von $A\\subseteq X$ eine Folge $(x_n)_{n\\in\\mathbb{N}} \\subseteq A$ mit $x_n \\to x$ gibt. Betrachte Wähle dafür einfach $x_n \\in B_\\frac{1}{n}(x)\\cap A$. Wenn man jetzt noch beachtet, dass genau dann $a\\in \\bar{A}$, wenn $a$ Häufungspunkt von $A$ ist, folgt direkt: $D \\subseteq X$ liegt genau dann dicht in $X$, wenn für alle $x \\in X$ eine Folge $(x_n)_{n\\in \\mathbb{N}} \\subseteq D$ mit $x_n \\to x$ existiert." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "c6d007e5-17ad-4cf6-b802-d15de6623303", "metadata": {}, "source": [ "
\n", " \n", "### Definition - Vervollständigung eines metrischen Raums\n", "***\n", " \n", "Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum. Ein metrischer Raum $(\\hat{X},\\hat{d})$ heißt genau dann Vervollständigung von $(X,d)$, wenn $(\\hat{X},\\hat{d})$ vollständig ist und es eine injektive Isometrie $\\varphi: X \\rightarrow \\hat{X}$ gibt, sodass $Im(\\varphi)$ dicht in $(\\hat{X},\\hat{d})$ liegt.\n", "\n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "9d6800f3-ad86-4e49-8f13-ac29d48af53f", "metadata": {}, "source": [ "
\n", " \n", "### 2. Aufgabe\n", "***\n", "Beweisen Sie die Eindeutigkeit der Vervollständigung eines metrischen Raumes bis auf isometrische Isomorphie.\n", " \n", "Betrachten Sie dafür zwei Vervollständigungen $\\hat{X}, \\tilde{X}$ von $X$ mit zugehörigen injektiven Isometrien $\\hat{\\varphi}, \\tilde{\\varphi}$. Wir definieren $h:\\hat{X} \\to \\tilde{X}$ für $y\\in Im(\\hat{\\varphi})$ via $h(y):=\\tilde{\\varphi}(x)$, wobei $x$ das eindeutige $x \\in X$ mit $\\hat{\\varphi}(x)=y$ ist (die Eindeutigkeit folgt aus der Injektivität). Setzen Sie $h$ nun auf $\\hat{X}\\setminus Im(\\hat{\\varphi})$ fort.\n", "\n", "Hinweis: Isometrien sind stetig, d.h. für eine konvergente Folge $(x_n)_{n\\in \\mathbb{N}} \\subseteq \\hat{X}$ gilt: $\\lim_{n \\to \\infty} h(x_n) = h(\\lim_{n \\to \\infty} x_n)$. Setzen Sie $h$ damit fort und begründen Sie, dass $h$ nun bereits auf ganz $\\hat{X}$ definiert ist. Folgern Sie außerdem, dass $h$ eine Isometrie ist, indem Sie die Stetigkeit der Metrik in beiden Komponenten ausnutzen. Nun bleibt Ihnen nur noch zu zeigen, dass $h$ bijektiv ist. Dafür können Sie nach dem gleichen Prinzip einen Isomorphismus $g$ von $\\tilde{X}$ nach $\\hat{X}$ konstruieren und zeigen, dass $g$ und $h$ invers zueinander sind.
" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "f0c736ba-fd15-43d0-9a7b-3e019f489e98", "metadata": {}, "source": [ "Wir möchten Ihnenn nun das allgemeine Verfahren zur Konstruktion der Vervollständigung nahebringen. Sei dafür $(X,d)$ ein metrischer Raum. Um diesen Raum zu vervollständigen müssen wir für jede divergente Cauchy-Folge einen Konvergenzpunkt hinzufügen (Wir erinnern: Eine Folge, die nicht konvergiert heißt divergenz). Nun können wir uns die Frage stellen, ob jede Cauchy-Folge ihren eigenen Konvergenzpunkt erhalten soll.
\n", "Wir betrachten das Beispiel $X=\\mathbb{Q}$ (mit der euklidischen Metrik $d(x,y) = |x-y|\\;\\forall x,y \\in \\mathbb{Q}$), um diese Frage genauer zu beleuchten. Dabei stellen wir fest, dass zwei verschiedene konvergente Foglen $(x_n)_{n\\in \\mathbb{N}},(y_n)_{n\\in \\mathbb{N}} \\subseteq \\mathbb{Q}$, die insbesondere Cauchy-Folgen sind, durchaus den gleichen Konvergenzpunkt haben können. Wenn wir also $\\mathbb{Q}\\setminus \\{x\\}$ sinnvoll vervollständigen wollten (wobei $x\\in \\mathbb{Q}$ der Konvergenzpunkt der Folgen ist), sollten wir für $(x_n)_{n\\in \\mathbb{N}}$ und $(y_n)_{n\\in \\mathbb{N}}$ den gleichen Punkt hinzufügen.
\n", "Wir können unsere Frage also mit \"Nein\" beantworten - Nicht jede Cauchy-Folge sollte ihren eigenen Konvergenzpunkt erhalten. Wie entscheiden wir aber, ob zwei verschieden Cauchy-Folgen den gleichen Konvergenzpunkt haben sollten? Wir kehren zurück zu unserem Beispiel $X=\\mathbb{Q}$. Die Folgen $(x_n)_{n\\in \\mathbb{N}}$ und $(x_n)_{n\\in \\mathbb{N}}$ konvergieren genau dann gegen den gleichen Grenzwert $x\\in\\mathbb{Q}$, wenn $d(x_n,y_n)_{n\\in\\mathbb{N}} \\subseteq \\mathbb{Q}$ gegen Null konvergiert (hier sehen Sie, warum wir das Verfahren für $\\mathbb{Q}$ anwenden können, ohne Probleme damit zu bekommen, dass der Zielbereich von $d$ als $\\mathbb{R}$ definiert ist: $d(x_n,y_n)_{n\\in\\mathbb{N}} \\subseteq \\mathbb{Q}$).
\n", "Sei ${\\mathscr{C}} := \\{(x_n)_{n\\in \\mathbb{N}} \\subseteq X |(x_n)_{n\\in \\mathbb{N}} \\text{ ist Cauchy-Folge} \\}$, dann definieren wir $(x_n)_{n\\in \\mathbb{N}} \\sim (y_n)_{n\\in \\mathbb{N}}$ ist für $(x_n)_{n\\in \\mathbb{N}},(y_n)_{n\\in \\mathbb{N}} \\in \\mathscr{C}$ genau dann erfüllt, wenn $d(x_n,y_n) \\rightarrow 0$. Nach obiger überlegung müssen wir dann nur pro Äquivalenzklasse einen Konvergenzpunkt hinzufügen.
\n", "Uns fällt auf, dass wir $X$ in ${\\mathscr{C}}/{\\sim}$ wiederfinden, wenn wir $x\\in X$ mit der Äquivalenzklasse der Folgen, die gegen $x$ konvergieren, identifizieren. Außerdem gilt. $\\lim_{n \\to \\infty} d(x_n,y_n) \\to d(x,y)$, für konvergente Folgen $(x_n)_{n\\in \\mathbb{N}}, (y_n)_{n\\in \\mathbb{N}}$, wobei $x_n \\rightarrow x$ und $y_n \\to y$. Das heißt $\\varphi: X \\rightarrow \\mathscr{C}, x \\mapsto [(x)_{n\\in \\mathbb{N}}]$, ist eine Isometrie ($(x)_{n\\in \\mathbb{N}}$ ist die Folge, die konstant $x \\in X$ ist und $[c]$ ist die Äquivalenzklasse von $c\\in \\mathscr{C}$ bzgl. $\\sim$), wenn wir auf $\\mathscr{C}$ die Metrik $d': \\mathscr{C}\\times\\mathscr{C} \\rightarrow \\mathbb{R}, (x_{n \\in \\mathbb{N}},y_{n \\in \\mathbb{N}}) \\mapsto \\lim_{n \\to \\infty} d(x_n,y_n)$ definieren." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "9e596307-f9a0-465a-94fa-96de0795b343", "metadata": {}, "source": [ "
\n", " \n", "### 3. Aufgabe\n", "***\n", " \n", "Zeigen, dass\n", "- $d'$ eine Metrik auf $\\mathscr{C}/\\sim$ ist.\n", "- $(\\mathscr{C}/\\sim,d')$ vollständig ist.\n", "- $\\text{im}\\varphi$ dicht in $(\\mathscr{C}/\\sim,d')$ liegt.\n", " \n", "Hinweis: Bedenken Sie die besprochene Charakterisierung von Dichtheit.\n", " \n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "6aab0fab-91fe-4475-856f-baad4d0e12b5", "metadata": {}, "source": [ "Sie haben mit der Bearbeitung der Aufgabe gezeigt, dass $(\\mathscr{C}/\\sim,d')$ die Vervollständigung von $(X,d)$ ist." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "00e1e911-cd79-471b-8767-4ad86f3a6f56", "metadata": {}, "source": [ "
\n", " \n", "### Rückblick-Aufgabe\n", "***\n", "\n", "Konstruieren Sie die reellen Zahlen nach dem geschilderten Verfahren (d.h. konstruieren Sie explizit die Vervollständigung der rationalen Zahlen).\n", "\n", " \n", "Hinweis: Natürlich existiert $\\lim_{n \\to \\infty} d(x_n,y_n)$ im Allgemeinen nicht in $\\mathbb{Q}$. Sie erweitern den Zielbereich von $d$ also zu $\\mathscr{C}/\\sim$. Erinnern Sie sich daran, dass für jede Cauchy-Folge ein Konvergenzpunkt hinzugefügt werden soll. Einfachheitshalber ist das für eine Cauchy-Folge $(x_n)_{n\\in\\mathbb{N}}\\subseteq X$ der Punkt $[(x_n)_{n\\in\\mathbb{N}}] \\in \\mathscr{C}$ selbst.\n", " \n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "f5e41dd5-7849-4c65-bff3-76d838cce6f8", "metadata": {}, "source": [ "### Literaturverzeichnis\n", "- Natürliche Zahl (2023). In Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. https://de.wikipedia.org\n", "- Grothendieck Gruppe (2023). In Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. https://de.wikipedia.org\n", "- Freie abelsche Gruppe (2023). In Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. https://de.wikipedia.org\n", "- Quotientenkörper (2023). In Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. https://de.wikipedia.org\n", "- Cauchy space (2023). In Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. https://de.wikipedia.org\n", "- Filter (Mathematik) (2023). In Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. https://de.wikipedia.org\n", "- Umgebungssystem (2023). In Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. https://de.wikipedia.org\n", "- Uniformer Raum (2023). In Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. https://de.wikipedia.org\n", "- Topologie (Mathematik) (2023). In Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. https://de.wikipedia.org\n", "\n", "\n", "\n" ] } ], "metadata": { "kernelspec": { "display_name": "Python 3 (ipykernel)", "language": "python", "name": "python3" }, "language_info": { "codemirror_mode": { "name": "ipython", "version": 3 }, "file_extension": ".py", "mimetype": "text/x-python", "name": "python", "nbconvert_exporter": "python", "pygments_lexer": "ipython3", "version": "3.9.7" } }, "nbformat": 4, "nbformat_minor": 5 }