{ "cells": [ { "cell_type": "markdown", "id": "68180520-1e26-48e7-ba36-0370e36145a3", "metadata": {}, "source": [ "# Nicht-euklidische Geometrie" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "5ed0dfb1-f0a2-42b9-8b63-bc80a7c0792d", "metadata": {}, "source": [ "
\n", " \n", "Ziel des Notebooks:\n", "- Definition Gaußscher Kürmmung\n", "\n", "Mathematische Tools:\n", "- Elementare Mathematik und Geometrie" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "2780dd9c-29e6-4982-9dee-af78a7bc7e30", "metadata": {}, "source": [ "Es hat wohl kaum jemanden gegeben, der die Mathematik so stark geprägt hat wie Euklid. Sein Hauptwerk, die Elemente, war bis in die zweite Hälfte des 19. Jahrhunderts nach der Bibel das meistverbreitete Werk der Weltliteratur [1].
\n", "In diesem Werk trug er das damalige mathematische Wissen unter Angabe strenger Beweise zusammen. Dieses Vorgehen zieht sich seit dem durch die gesamte Mathematik. " ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "28293f61-5a68-42a5-b65c-1b68620d94e2", "metadata": {}, "source": [ "In den Elementen wird die Geometrie, die Sie bereits aus der Schulmathematik kennen, eingeführt. Das Besondere an Euklids Vorgehen ist, dass er bloß fünf Aussagen postuliert und alles Weitere daraus streng logisch folgert. Diese Strenge war für damalige Verhältnisse völlig neuartig." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "84449062-a42a-4a2e-b70e-28d1986052b4", "metadata": {}, "source": [ "
\n", " \n", "### 1. Recherche-Aufgabe\n", "***\n", "Formulieren Sie die fünf Postulate Euklids und begründen Sie die besondere Stelllung des fünften Postulats (Parallelenaxiom).\n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "90dd6efa-bc1c-47f4-a7f6-1247fba327bf", "metadata": {}, "source": [ "Man war sich zur damaligen Zeit geradezu sicher, dass sich das Parallelenaxiom aus ersten vier Postulaten ableiten ließ. Das führte dazu, dass sich zahlreiche Mathematiker daran versuchten das Postulat aus den ersten vier Axiomen abzuleiten. Erst viel später stellte man fest, dass sich konsistente Geometrien aus der Verneinung des Parallelenaxioms zusammmen mit den Postulaten der Absoluten Geometrie (das sind die ersten vier Axiome) ergeben, namentlich die hyperbolische und die sphärische Geometrie." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "a89a20ae-86f8-4d28-ae42-b9eb22f63d31", "metadata": {}, "source": [ "
\n", " \n", "### 2. Recherche-Aufgabe\n", "***\n", "Informieren Sie sich über die Geschichte der hyperbolischen Geometrie und schreiben Sie zwei Fakten heraus, die Sie besonderes interessant fanden.\n", "\n", "Bemerkung: Die Geschichte der hyperbolischen Geometrie beginnt im Prinzip mit Euklid und geht damit sehr weit zurück. Außerdem ist Sie sehr spannend. Diese Aufgabe zielt nicht auf vordefinierte Fakten ab, die Ihre Recherche enthalten sollte. Verlaufen Sie sich ruhig in Ihrer Recherche und trauen Sie sich auch etwas vom Thema abzukommen. Einen guten ersten Überblick gibt die Video-Serie \"The History of non-euclidean Geometry\" von Extra History [2].\n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "2b8e8af2-cd21-4b7e-965f-e314baffc34e", "metadata": {}, "source": [ "Kommen wir nun zu etwas Mathematik. Ein klassisches Beispiel für nicht-euklidische Geometrie ist die Kugel. Man kann \"Geraden\" auf der Kugel als die Großkreise der Kugel definieren (Das sind gerade die Kreise, die sich als Schnitt einer Ebene durch den Kugelmittelpunkt mit der Kugel selbst schreiben lassen). " ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "69fd58e7-6937-41bb-a70e-08c72fb947ce", "metadata": {}, "source": [ "
\n", "Denkanstoß: Überlegen Sie sich, wie man Dreiecke auf der Kugeloberfläche definieren kann. Fällt Ihnen etwas zur Innenwinkelsumme der von Ihnen definierten Dreiecke auf?\n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "26dfe4ca-6b20-4e1a-9469-955070250343", "metadata": {}, "source": [ "Wir können nicht-eukldische Geometrie etwas lachs als Geometrie auf gekrümmten Flächen verstehen. Eine wichtige Invariante ist damit die Krümmung einer Fläche, deren mathematische Definition wir uns jetzt erarbeiten wollen.
\n", "Dafür zunächst einmal eine kurze Wiederholung einiger Begriffe aus der Analysis." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "c732a6e8-f970-4241-9106-122236e1d712", "metadata": {}, "source": [ "
\n", " \n", "### Definition - Topologische Begriffe\n", "Für $\\epsilon >0, x\\in \\mathbb{R}^n$ wird die Menge $B_\\epsilon (x) := \\{y\\in \\mathbb{R}^n: \\lVert x-y\\rVert_2<\\epsilon\\}$ als $\\epsilon$-Ball um $x$ bezeichnet.\n", " \n", "Eine Menge $U\\subseteq \\mathbb{R}^n$ heißt offen, falls $\\forall x \\in U \\ \\exists \\epsilon >0: \\ B_\\epsilon(x) \\subseteq U$\n", " \n", "Sei $x\\in \\mathbb{R}^n$, dann heißt $U\\subseteq \\mathbb{R}^n$ Umgebung von $x$, falls eine offene Menge $V \\subseteq U$ mit $x\\in V$ existiert.\n", "\n", "Für $U\\subseteq \\mathbb{R}^n$, $V\\subseteq \\mathbb{R}^m$ heißt $\\phi:U\\to V$ Homöomorphismus, falls $\\phi$ bijektiv und in beide Richtungen stetig ist, d.h. sowohl $\\phi$ als auch $\\phi^{-1}$ sollen stetig sein. $U$ und $V$ heißen in dem Fall homöomorph zueinander.\n", " \n", "Bemerkung: Wir erinnern an die Charakterisierung von Stetigkeit: $f:\\mathbb{R}^n \\to \\mathbb{R}^m$ ist genau dann stetig, wenn Urbilder offener Mengen (unter $f$) offen sind.\n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "95508208-b22c-4fec-8c52-19c144b4b9c5", "metadata": {}, "source": [ "Intuitiv betrachtet ist ein Homöomorphismus $\\phi:U\\to V$ einfach nur eine stetige Verformung des Raumes $U\\subseteq \\mathbb{R}^n$. Sie können sich $U$ wie ein aus Knete gefertigtes Objekt vorstellen. Die Stetigkeit der Verformung heißt nun, dass wir um $V$ zu $U$ zu transformieren das Stück Knete nicht zerreißen dürfen. Da wir auch Stetigkeit von $\\phi^{-1}$ fordern, dürfen wir bei der Umformung auch nicht \"verkleben\". Denn verkleben ist sozusagen das Inverse zum zerreißen." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "1da4e431-0b82-4973-b0ff-4678d8168d18", "metadata": {}, "source": [ "Zum Beispiel ist der Einheitskreis $\\{(x,y)^T \\in \\mathbb{R}^2| x^2+y^2=1 \\}$ nicht homöomorph zum Einheitsinterval $[0,1]$, da man um den Einheitskreis zu erhalten die Null mit der Eins \"verkleben\" müsste." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "db5ab39a-d412-481e-8b76-c01f86ded2ef", "metadata": {}, "source": [ "
\n", "Denkanstoß: Versuchen Sie die Behauptung aus dem Beispiel zu beweisen.\n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "43caa244-0d10-4510-8876-c0e6c198d9b8", "metadata": {}, "source": [ "Bevor wir den Krümmungsbegriff diskutieren, sollten wir uns außerdem die Frage stellen, welchen Objekten wir überhaupt unsere Eigenschaft zuordnen wollen.
\n", "Unser Ziel ist es Geometrie auf gekrümmten Oberflächen zu betreiben. Was Krümmung überhaupt sein soll, erarbeiten wir uns gerade. Was Oberflächen sind, lässt sich aber bereits jetzt definieren:" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "8972bef0-7a25-4a54-9bc3-e5488d974b4f", "metadata": {}, "source": [ "Eine Fläche ist eine Verallgemeinerung des $\\mathbb{R}^2$. Mit dem Begriff des Homöomorphismus haben wir formalisiert, was es bedeutet eine \"Verformung eines Raumes\" zu sein. Man könnte also auf die Idee kommen eine Fläche als eine Teilmenge $S\\subseteq \\mathbb{R}^n$ zu definieren, die homöomorph zu $\\mathbb{R}^2$ ist. Das reicht aber nicht, wenn wir zum Beispiel unser Eingangsbeispiel, die Kugel, als Fläche verstehen wollen. Wir beschränken uns daher darauf, dass eine Fläche lokal aussieht wie der $\\mathbb{R}^2$. Das schließt dann wieder den Fall der Kugel mit ein. Beispielsweise, kann man Deutschland recht gut auf einer flache Karte abbilden, obwohl die Erde als Ganzes eher einer Kugel enstpricht." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "801910ac-1816-47bf-9b4c-29aa0439eee9", "metadata": {}, "source": [ "
\n", " \n", "### Definition - Flächen\n", "Eine Teilmenge $S\\subseteq \\mathbb{R}^n, n>1$ heißt Fläche (oder auch 2-Mannigfaltigkeit), falls für jeden Punkt $p\\in S$ ein eine offene Umgebung $U$ von $p$ existiert, sodass $U\\cap S$ als Verformung von $\\mathbb{R}^2$ verstanden werden kann, d.h. wenn es einen Homöomorphismus $\\phi: \\mathbb{R^2} \\to U\\cap S$ gibt.\n", "\n", " \n", "Bemerkung: $\\mathbb{R^2}$ ist homöomorph zu $B_1(0)\\subseteq\\mathbb{R}^2$. Damit gibt es genau dann einen Homöomorphismus $\\phi: \\mathbb{R^2} \\to U\\cap S$, wenn es einen Homöomorphismus $\\varphi: B_1(0) \\to U\\cap S$ gibt.\n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "00bb9fb5-1835-432a-bb1c-1979ca05e94b", "metadata": {}, "source": [ "Nun sind wir schon recht nah an den Objekten, denen wir Krümmungen zuordnen können. Das Problem ist jetzt noch, dass nach dieser Definition zum Beispiel auch die Oberfläche eines Würfels als Fläche durchgeht. Das mag für manche Anwendungen sinnvoll sein, aber Ecken und Kanten führen bei der Definition von Krümmung zu einem Problem, wie man sich vielleicht denken kann (was sollte die Krümmung an einer Kante schon sein?). Um diesem Problem aus dem Weg zu gehen, führen wir zwei zusätzliche Bedingungen ein:" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "ae4b8dab-bbf6-4532-bba5-2c2f000660c7", "metadata": {}, "source": [ "
\n", " \n", "### Definition - Reguläre Flächen\n", "Eine Teilmenge $S\\subseteq \\mathbb{R}^n$ heißt reguläre Fläche, wenn es für jeden Punkt $p\\in U$ eine offene Menge $V\\subseteq \\mathbb{R}^2$ und einen stetig differenzierbaren Homöomorphismus $\\phi: V\\to U\\cap S$ gibt, sodass die Ableitung $\\frac{d\\phi}{dx}(q):\\mathbb{R}^2\\to \\mathbb{R}^n$ in jedem Punkt $q\\in V$ injektiv ist, d.h. vollen Rang (Rang=2) hat.\n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "e7df35c0-2dcf-4d9b-8f60-fcc00544120d", "metadata": {}, "source": [ "Es sollte einleuchten, dass die Differenzierbarkeit gerade die Ecken und Kanten vermeidet. Sie wissen zum Beispiel bereits aus der Analysis, dass die Betragsfunktion überall außer in ihrem Knick $x=0$ differenzierbar ist. Wir verbieten mit unser Zusatzforderung also das \"Knicken\"." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "0be9a568-0a4b-4fa7-8e33-de345059bb9f", "metadata": {}, "source": [ "Die Bedingung mit der Injektivität erlaubt uns an jedem Punkt eindeutig eine sogenannte Tangentialebene anlegen zu können. Aber bevor wir dazu kommen, sollten Sie ihre Intuition noch durch eigene Denkarbeit festigen:" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "a4c1d4fc-343e-4e44-bb08-9cea613fba91", "metadata": {}, "source": [ "
\n", " \n", "### 3. Aufgabe\n", "***\n", "Finden Sie jeweils mindestens zwei Beispiele (die bisher nicht genannt wurden) für\n", "- Flächen\n", "- Reguläre Flächen\n", "- Flächen, die keine regulären Flächen sind\n", "- Reguläre Flächen, die keine Flächen sind\n", " \n", "oder argumentieren Sie ggfs., warum es ein solches Objekt nicht geben kann.\n", "\n", "***\n", " \n", "Entscheiden Sie, ob folgendes Objekt eine Fläche ist:\n", "$$\\{(x,y,z)^T-e_1 \\in \\mathbb{R}^3 | x^2+y^2=1\\} \\cup \\{(x,y,z)^T+e_1 \\in \\mathbb{R}^3 | x^2+y^2=1\\}$$\n", "Ein vollständiger Beweis ihrer Behauptung ist explizit nicht gefordert. Aber Sie sollten ihre Antwort begründen können.\n", " \n", "Tipp: Ignorieren Sie zunächst die $z$-Koordinate und zeichnen Sie sich ein Bild der Menge.\n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "d53db228-3209-4c9e-83fd-ec738b990901", "metadata": {}, "source": [ "Kommen wir also nun zur Definition von Tangentialebenen:" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "89f62bc8-a0ee-4880-a976-b17c28b2bd27", "metadata": {}, "source": [ "Obwohl Tangentialebenen eigentlich sehr intuitive Objekte sind, ist deren Definition gar nicht so einfach. Das liegt vor allem daran, dass die Wohldefiniertheit der Ebene bei unserer Definition nicht von vorherein klar ist. Deren Existenz zu beweisen ist hingegen sehr einfach, da wir die regulären Flächen gerade so definiert haben, dass deren Existenz gesichert ist.
Wir werden die zugehörigen Beweise übergehen. Sie sollten sich aber im Klaren darüber sein, dass man sich die Frage nach Existenz, Eindeutigkeit und Wohldefiniertheit stets stellen sollte, wenn man eigenständig ein neues Objekt definiert." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "a0a8e082-a88e-43fd-8f8c-7b8805a882bc", "metadata": {}, "source": [ "
\n", " \n", "### Definition - Tangentialebene\n", "Sei $S\\subseteq{\\mathbb{R}}^n$ eine reguläre Fläche, $p\\in S$. Betrachte die Menge $\\mathscr{C}_p$ aller differenzierbaren Abbildung $\\gamma: (-1,1) \\to S$ mit $\\gamma(0)=p$. Die Ableitung einer Kurve $\\gamma$ bezeichnen wir mit $\\dot{\\gamma}$.\n", "\n", "Dann ist die Menge $T_p(S):=\\{p + \\dot{\\gamma}(0) \\subseteq \\mathbb{R}^n|\\gamma \\in\\mathscr{C}_p\\}$ ein zweidimensionaler affiner Unterraum von $\\mathbb{R}^n$ (d.i. ein verschobener Untervektorraum, also ein Raum der Form $v + U$, mit $v\\in \\mathbb{R}^n$, $U\\subseteq\\mathbb{R}^n$ Untervektorraum), der als Tangentialebene bezeichnet wird. Elemente des Tangentialraums heißen Tangentialvektoren.\n", "
Den (bis aufs Vorzeichen) eindeutig bestimmten Einheitsvektor, der orthogonal zu $T_p(S)$ ist, bezeichnet man als Normalenvektor (sie können ihn zum Beispiel mit Hilfe des Kreuzprodukts und zwei linear unabhängigen Tangentialvektoren berechnen).\n", "\n", " \n", "Bemerkung: Tangetialebenen sind wie gesagt recht intuitive Objekte. Schauen Sie sich gerne dazu einige Beispiele im Internet an, um ein visuelles Verständnis dafür zu gewinnen. \n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "ca654849-130a-4e24-b551-f16d0e716d83", "metadata": {}, "source": [ "An dieser Stelle fragen Sie sich vielleicht, wie wir hier gelandet sind. Wir haben uns doch eigentlich die Frage nach der Krümmung einer regulären Fläche gestellt. Was hat das jetzt mit Tangentialebenen zu tun?" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "240929ef-1dc7-4d83-bce0-87a9524fcd91", "metadata": {}, "source": [ "Dazu müssen wir tatsächlich nochmal zurück in den eindimensionalen Fall zurück. Ähnlich wie wir Definition der Tangentialebene auf Kurven, die durch $p$ laufen zurückgespielt haben, definieren wir \"Krümmung\" zunächst für Kurven und definieren die Krümmung der Ebene dann über die Krümmungen der Kruven, die durch die Ebene verlaufen. Die Definition der Tangentialebene ist deswegen von Relevanz, weil Sie uns genau die Klasse von Kurven liefert, die für unsere Definition interessant sind, aber dazu später mehr." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "33bec695-b4de-4a24-b8dd-329a08cfae56", "metadata": {}, "source": [ "## Krümmung einer Kurve " ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "d979d623-8ce4-41b5-a470-7359e56cd310", "metadata": {}, "source": [ "Die Krümmung einer Kurve in einem Punkt $p$ ist ein Maß dafür, wie sehr jemand, der die Kurve durchläuft, am Punkt $p$ seine Richtung ändern muss, um auf der Kurve zu bleiben. Es macht demnach Sinn die Krümmung als die Richtungsänderung zu definieren. Übersetzen wir das mal in Mathematik:
\n", "Mit \"Richtung\" kann nicht viel anderes als der Tangentenvektor gemeint sein, denn unsere instantane Bewegung geht ja genau in Richtung der Tangente (mit Länge $1$). Sei also $\\Delta T$ unsere Richtungsänderung, wenn wir die Kurve \"ein Stück\" durchlaufen.
\n", "Ihre Erfahrung aus der Analysis verrät Ihnen wahrscheinlich schon wie es weitergeht. Wir müssen \"das Stück Kurve\" $\\Delta s$ natürlich noch angeben und dann zum Grenzwert $\\lim_{\\Delta s \\to 0} \\frac{\\Delta T}{\\Delta s}$ übergehen. Dazu eignet sich am besten die Bogenlänge des Kurvenstücks (wir wollen ja nicht, dass unsere Krümmung an einem Punkt davon abhängt mit welcher \"Geschwindigkeit\" wir den Punkt durchlaufen). Da wir nicht an der \"Richtung\" der Krümmung interessiert sind, nehmen wir zu guter letzt noch den Betrag unseres Grenzwerts." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "154e088d-8436-4523-9cc4-baf226ecb438", "metadata": {}, "source": [ "
\n", " \n", "### Definition - Krümmung einer Kurve\n", "***\n", "Sei $K$ eine glatte Kurve in $\\mathbb{R}^2$ (das ist eine stetig differenzierbar parametrisierbare Kurve, deren Ableitung nie Null ist) mit entsprechender Parametrisierung $s:I \\to \\mathbb{R}^2$, wobei $I\\subseteq \\mathbb{R}$ ein Intervall bezeichne. Es seien $x$ und $y$ die Koordinatenfunktionen von $s$, d.h. $s(t)=(x(t),y(t))^T \\ \\forall t \\in I$.\n", " \n", "Dann ist die Krümmung $\\kappa_p$ im Punkt $p=\\gamma(t_0), \\ t_0 \\in I$ wie folgt definiert: $$\\frac{x'(t_0)y''(t_0)-y'(t_0)x''(t_0)}{\\left(x'(t_0)^2+y'(t_0)^2\\right)^\\frac{3}{2}}$$\n", "wobei $x'$ und $x''$ die erst bzw. zweite Ableitung von $x$ bezeichnet; ebenso für $y$.\n", " \n", "Bemerkung: Wir werden uns die (geometrische sehr schöne) Herleitung der Formel an dieser Stelle sparen, Sie haben aber die Möglichkeit sich für dieses Thema in der Rückblickaufgabe zu entscheiden. \n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "697d67a5-f588-4460-bdcb-44aefe5eaafa", "metadata": {}, "source": [ "
\n", " \n", "### 4. Aufgabe\n", "***\n", "Berechnen sie die Krümmung der Normalparabel im Punkt $x=0$.\n", "\n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "d7a1234d-1fbe-4001-a1a4-dee1f630c44c", "metadata": {}, "source": [ "***" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "aa26f2a5-f008-46ed-a0bd-458c0f6d0548", "metadata": {}, "source": [ "Nun können wir uns der Krümmung einer Ebene widmen. Dabei kommen alle Konzepte zusammen, die wir bisher gelernt haben. Die Tangentialebene wird uns dabei helfen uns zwei Kurven herauszusuchen, die die Fläche \"repräsentieren\". Das Produkt der Krümmungen dieser Kurven wird dann die Krümmung der Fläche in diesem Punkt sein." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "699fc73b-f5d5-43dd-8954-ecd2367174e5", "metadata": { "tags": [] }, "source": [ "
\n", " \n", "### Definition - Normalkrümmung\n", "***\n", "Sei $S$ eine reguläre Fläche und $p\\in S$ ein Punkt in der Fläche. Dann spannt jeder Tangentialvektor $v \\in T_p(S)$ zusammen mit dem Normalenvektor eine Ebene $E_v$ auf. Schneidet man die Ebene $E_v$ mit der Fläche $S$, so erhält man eine Kurve (die in $E_v\\cong \\mathbb{R}^2$ lebt).
\n", "Die Krümmung einer Kurve, die auf diesem Wege entsteht, bezeichnet man als Normalkrümmung.\n", " \n", "Das Minimum (bzw. Maximum) der Normalkrümmungen bezeichnen wir als Hauptkrümmung $k_1$ (bzw. $k_2$). Das Produkt der Hauptkrümmungen bezeichnet man als Gauß'sche Krümmung.\n", " \n", "Bemerkung: Dass Minimum und Maximum angenommen werden (es sich also nicht nur um Infimum und Supremum handelt), ist nicht selbstverständlich. Wir verzichten aber an dieser Stelle auf den Beweis, dass es tatsächlich Kurven gibt, deren Krümmung im besagten Punkt $k_1$ bzw. $k_2$ ist. Diese Kurven bezeichnen wir mit Hauptkurven.\n", "\n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "b5dd31d4-ce6b-4f1e-a5a6-4348ac4039d9", "metadata": {}, "source": [ "
\n", " \n", "### 5. Aufgabe\n", "***\n", "Finden Sie eine Parametrisierung eines Pringels-Chips und berechnen Sie dessen Gaußsche Krümmung für einen Punkt ihrer Wahl. \n", "\n", "Hinweis: Wählen Sie die Parametrisierung so, dass sich die Hauptkrümmungen im Schnittpunkt der Hauptkurven leicht berechnen lassen. Überlegen Sie sich, was die Hauptkurven sein müssen. Sie dürfen auf den Beweis, dass das tatsächlich die Hauptkurven sind, verzichten, sollten aber in der Lage dazu sein dafür zu argumentieren, dass sie es sind." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "ac759d04-969a-42bb-a65c-ca890c6fe353", "metadata": {}, "source": [ "
\n", " \n", "### Rückblick-Aufgabe\n", "***\n", "Wir haben mit diesem Notebook bloß die Grundlagen für ein sehr umfassendes und schönes Thema gelegt. In der Rückblickaufgabe sollen Sie sich damit beschäftigen, welche Möglichkeiten sich aus den hiesigen Definitionen ergeben. Wählen Sie einen der folgenden Themenbereiche und erstellen Sie ein Kurzpräsentation dazu (Die Präsentation muss keinesfalls den ganzen Themenbereich abdecken). Sie sind in der Gestaltung sehr frei, d.h. Sie können sich auf den Beweis eines Faktes konzentrieren oder versuchen gewisse Bereiche anschaulich zu machen oder auch einfach möglichst viele Fakten sammeln und in Kontext setzen, um einen Überblick über den Themenkomplex zu gewinnnen.\n", " \n", "- Was ist der Unterschied zwischen hyperbolischer und sphärischer Geometrie?\n", "- Darstellungen der reellen hyperbolischen Ebene - wie lassen sich hyperbolische Flächen mathematisch realisieren? (Als Ausgangspunkt für die Recherche könnten die Begriffe \"Poincarésches Kreisscheibenmodell\", \"Kreisscheibenmodell von Beltrami und Klein\" und \"Poincarésches Halbebenenmodell\" hilfrei sein)\n", "- Die Geschichte der hyperbolischen Geometrie (Gehen Sie auch auf mathematische Details ein, wenn Sie dieses Thema wählen)\n", "- Anwendungen hyperbolischer Geometrie\n", " \n", "Wenn Sie sich noch etwas tiefgehender mit den Grundlagen, die wir uns hier erarbeitet haben auseinandersetzen möchten, könnte auch folgendes Thema interessant sein:\n", "- Herleitung der Krümmungsformel (siehe [Krümmung](https://en.wikipedia.org/wiki/Curvature#In_terms_of_a_general_parametrization))\n", " \n", " \n", "Bemerkung: All das sind nur Themenvorschläge, sie dürfen auch eigens ein Thema wählen, wenn es einen deutlichen Bezug zur nicht-euklidischen Geometrie hat." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "b0006cf7-b66a-4cbb-99c9-e3a268099bbe", "metadata": {}, "source": [ "### Literaturverzeichnis\n", "- [1] Elemente (Euklid) (2024). In Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. https://de.wikipedia.org\n", "- [2] \"The History of non-euclidean Geometry\" von \"Extra History\" (2024). Auf YouTube https://www.youtube.com/\n", "- [3] Curvature (2024). In Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. https://de.wikipedia.org\n" ] } ], "metadata": { "kernelspec": { "display_name": "Python 3 (ipykernel)", "language": "python", "name": "python3" }, "language_info": { "codemirror_mode": { "name": "ipython", "version": 3 }, "file_extension": ".py", "mimetype": "text/x-python", "name": "python", "nbconvert_exporter": "python", "pygments_lexer": "ipython3", "version": "3.9.7" } }, "nbformat": 4, "nbformat_minor": 5 }