{ "cells": [ { "cell_type": "markdown", "id": "f10edf4a-5640-437c-bd47-f368ded72d50", "metadata": {}, "source": [ "# Lebesgue-Integral" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "871455e1-fa91-4b7f-bad2-0e76a781005a", "metadata": {}, "source": [ "
\n", " \n", "Ziel des Notebooks:\n", "- Erarbeitung der Definition des Lebesgue-Integrals\n", "- Grundlegende Eigenschaften des Lebesgue-Integrals\n", "\n", "Mathematische Tools:\n", "- Grundlegende Mengenlehre $\\to$ Einführung von $\\sigma$-Algebren, etc.\n", "- Maßtheorie" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "b484402f-7dbb-433b-837e-be200a5e89e6", "metadata": {}, "source": [ "Ziel dieses Notebooks ist die Erarbeitung eines neuen Integralbegriffs. Aus der Analysis ist Ihnen bereits das Riemann-Integral bekannt, mit dem man bestimmte Funktionen $f:\\mathbb{R}\\to\\mathbb{R}$ integrieren kann. Das Lebesgue-Integral erlaubt uns die Integration von beliebigen Funktionen $g:\\Omega\\to \\mathbb{R}$, wobei $\\Omega$ eine Menge sei, auf der ein Volumenbegriff definiert sei." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "18bb15ca-e485-4928-801e-1c51b2082f7a", "metadata": {}, "source": [ "## Notation" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "e427e20e-227c-41e3-b035-7d4a75f776bc", "metadata": {}, "source": [ "In der Maßtheorie ist Disjunktheit von Mengen sehr wichtig. Wir unterscheiden daher das Vereinigungssymbol \"$\\cup$\" für beliebige Mengen vom Vereingungssymbol \"$\\sqcup$\" für disjunkte Mengen. Wenn wir also wissen, dass zwei Mengen $A,B\\subseteq \\Omega$ einer Grundmenge $\\Omega$ disjunkt sind, d.h. $A\\cap B=\\emptyset$, schreiben wir für $A\\cup B$ einfach $A\\sqcup B$. Wenn wir schreiben $A\\cup B$, kann es natürlich trotzdem sein, dass $A$ & $B$ disjunkt sind - wir haben es vielleicht einfach noch nicht gezeigt. Sobald wir es wissen, machen wir es mit der Notation \"$\\sqcup$\" deutlich.\n", "\n", "Was wir außerdem brauchen werden ist \"Unendlich\", um zum Beispiel dem gesamten Zahlenstrahl $\\mathbb{R}$ eine Länge (bzw. eindimensionales Volumen) zuzuordnen. Das wären dann eben $\\infty$, gesprochen Unendlich. Dazu definieren wir auf $[0,\\infty]:=[0,\\infty)\\cup\\{\\infty\\}$ eine Totalordnung, indem wir die auf $\\mathbb{R}$ bekannte Ordnung $\\leq$ folgendermaßen fortsetzen: $x\\leq\\infty\\ \\forall x\\in [0,\\infty]$. Analog definieren wir $<$ durch $a\n", " \n", "### Definition - Charakteristische Funktion\n", "***\n", "Sei $\\Omega$ eine Menge und $A\\subseteq \\Omega$. Dann bezeichnet $1_A:\\Omega \\to \\mathbb{R}, x \\mapsto 1_A(x) := \\left\\{\n", "\\begin{array}{ll}\n", "1 & x \\in A\\\\\n", "0 & \\, \\textrm{sonst} \\\\\n", "\\end{array}\n", "\\right\\}$\n", "die charakteristische Funktion von A. Sie wird manchmal auch als Indikatorfunktion bezeichnet.\n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "80187954-9710-4288-97d1-b1bcbf347b8d", "metadata": {}, "source": [ "Für den Fall $\\Omega=\\mathbb{R}$, $a< b$ gibt uns das Riemann-Intgeral über $1_{[a,b]}$ die Länge (das eindimensionale Volumen) des Intervalls $[a,b]\\subseteq\\mathbb{R}$ zurück: $ \\int_{-\\infty}^{\\infty} 1_{[a,b]}(x)dx=b-a$." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "081f632b-5323-4b0e-b14b-54aed5ded35a", "metadata": {}, "source": [ "Ist für eine Teilmenge $A\\subseteq \\Omega$ ein Volumen $vol(A)\\in [0,\\infty]$ definiert, so soll uns das Lebesgue-Integral $\\int$ bei Integration über $1_A$ gerade dieses Volumen zurückgeben, das heißt: $\\int 1_A\\overset{!}{=}vol(A)$." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "4bf24ee0-0d5a-45d2-84a3-937548e4acfa", "metadata": {}, "source": [ "
\n", " \n", "### 1. Recherche-Aufgabe\n", "***\n", "Es stellt sich heraus, dass es für $\\Omega=\\mathbb{R}$ keine Funktion $vol:\\mathscr{P}(\\mathbb{\\Omega})\\to[0,\\infty]$ gibt, die die Eigenschaften hat, die man sich von einer Volumenfunktion wünscht.\n", " \n", "- Recherchieren Sie zum Stichwort \"Maßproblem\" und arbeiten Sie heraus, welche Eigenschaften das sind und fassen Sie die Aussage des Maßproblems verständlich aber formal zusammen.\n", "- Freiwillige Aufgabe: Recherchieren Sie zum Satz von Vitali und sehen Sie sich insbesondere den Beweis an.\n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "a782a371-166c-4812-9364-f27b31e499b9", "metadata": {}, "source": [ "Um dieses Problem zu umgehen, führt man in der Maßtheorie den Begriff der Messbarkeit ein. Eine Menge heißt dann messbar, wenn man ihr sinnvoll ein Volumen zuordnen kann. Die Volumenfunktion, die wir fortan Maß nennen, ist dann eine Abbildung von den messbaren Mengen nach $[0,\\infty].$" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "8eed356e-0f5a-41ed-af6e-72479a0f9266", "metadata": {}, "source": [ "
\n", " \n", "### Definition - $\\sigma$-Algebren und Maße\n", "***\n", "Sei $\\Omega\\not=\\emptyset$ eine Menge. Für $A\\subseteq \\Omega$ bezeichne $A^C:=\\Omega\\setminus A$ das Mengenkomplement von $A$ in $\\Omega$.
\n", "Ein Mengensystem $\\mathscr{A}\\subseteq \\mathscr{P}(\\Omega)$ heißt $\\sigma$-Algebra, falls folgende Eigenschaften gelten:\n", "- $\\Omega \\in \\mathscr{A}$\n", "- $A \\in \\mathscr{A} \\Rightarrow A^C \\in \\mathscr{A}$\n", "- Für eine Mengenfolge $(A_i)_{i\\in\\mathbb{N}}\\subseteq \\mathscr{A}$ gilt: $\\bigcup_{i\\in\\mathbb{N}}A_i \\in \\mathscr{A}$\n", "\n", "Bemerkung: Aus den Forderungen folgt insbesondere $\\emptyset \\in \\mathscr{A}$. Wie sich leicht nachprüfen lässt, ist die Potenzmenge einer Menge $\\Omega$ immer eine $\\sigma$-Algebra.\n", " \n", "Elemente einer $\\sigma$-Algebra $\\mathscr{A}$ werden messbar genannt. Das Tupel $(\\Omega, \\mathscr{A})$ bezeichnet man als Messraum. $\\Omega$ wird in diesem Setting als Grundraum bezeichnet.\n", " \n", "Charakteristische Funktionen heißen messbar, falls deren zugrundeliegende Menge messbar ist. Das heißt $1_A$ ist genau dann messbar, wenn $A$ messbar ist.
\n", "Linearkombinationen messbarer, charakteristischer Funktionen heißen einfach oder auch primitiv. Dabei sind als Koeffizienten alle Elemente aus $[-\\infty,\\infty]$ erlaubt.\n", "\n", " \n", "***\n", " \n", "Eine Abbildung $\\mu:\\mathscr{A}\\to[0,\\infty]$ bezeichnet man als Maß, falls folgende Eigenschaften gelten:\n", "- $\\mu(\\emptyset)=0$\n", "- Für eine Folge paarweise disjunkter Mengen $(A_i)_{i\\in\\mathbb{N}}\\subseteq \\mathscr{A}$ gilt: $\\mu(\\bigsqcup_{i\\in \\mathbb{N}}A_i)=\\sum_{i\\in \\mathbb{N}}\\mu(A_i)$\n", " \n", "Das Tupel $(\\Omega, \\mathscr{A}, \\mu)$ bezeichnet man als Maßraum. $\\Omega$ wird in diesem Setting als Grundraum bezeichnet. Ist $\\mu(\\Omega) < \\infty$, so bezeichnet man das $\\mu$ als endliches Maß. Im Speziallfall $\\mu(\\Omega)=1$ heißt $\\mu$ Wahrscheinlichkeitsmaß, das soll uns hier aber nicht weiter beschäftigen.
\n", "Die zweite Bedingung bezeichnet man als $\\sigma$-Additivität, wobei das $\\sigma$ andeutet, dass es um abzählbare Summen geht.\n", " \n", "Hinweis: Die Notation $\\sum_{i\\in \\mathbb{N}}$ rechtfertigt sich über den Riemannschen Umordnungssatz, der besagt, dass die Reihenfolge bei der Summation keine Rolle spielt. Divergiert die Reihe so divergiert sie bestimmt gegen $+\\infty$, was also wegen der Wahl des Zielbereich von $[0,\\infty]$ keine Probleme bereitet.\n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "56584c61-a9e5-451d-be27-a3b0a8431964", "metadata": {}, "source": [ "Das Maß nimmt die Rolle einer Volumenfunktion ein. Dabei lässt man die Forderung nach der Bewegungsinvarianz fallen (die Sie aus der Recherche zum Maßproblem kennen sollten), damit man sinnvoll auf Grundräumen $\\Omega$ ohne Geometrie (für die also nicht definiert ist, was eine Bewegung überhaupt ist) Volumina definieren kann." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "6c26d254-ee1c-4b2e-b86c-3c7989475e44", "metadata": {}, "source": [ "
\n", " \n", "### 2. Aufgabe\n", "***\n", "Das $\\sigma$ in $\\sigma$-Algebra oder auch in $\\sigma$-Additivität spielt auf die Verträglichkeit mit Abzählbaren Operationen an. Der Versuch das Maßproblem zu lösen scheitert an der schieren Größe von $\\mathscr{P}(\\mathbb{R})$ (die Kardinalität, d.i. die Mächtigkeit, dieser Menge ist noch größer als die der reellen Zahlen). Die Einschränkung auf abzählbare Vereinigungen bzw. Summen macht Maßtheore also erst möglich.
\n", "In dieser Aufgabe sollen Sie zeigen, dass aus den wenigen Bedingungen an Maße bereits schöne Eigenschaften folgen.\n", " \n", "Sei $(\\Omega,\\mathscr{A},\\mu)$ ein Maßraum und $(A_i)_{i\\in \\mathbb{N}} \\subseteq \\mathscr{A}$ eine Folge messbarer Mengen. Zeigen Sie:\n", "- Für endlich viele disjunkte Mengen $A_1',...,A_n' \\in \\mathscr{A}$ gilt: $\\mu(\\bigsqcup_{i=1}^nA_i')=\\sum_{i=1}^n\\mu(A_i')$\n", "- Stetigkeit von unten: Falls $A_i \\uparrow A$, d.h. $A_i \\subseteq A_{i+1} \\forall i \\in \\mathbb{N}$ und $A=\\bigcup_{i\\in\\mathbb{N}} A_i$, so gilt: $lim_{n\\to\\infty}\\mu(A_n)=\\mu(A)$\n", "\n", "Zeigen Sie, dass für endliche Maße auch Stetigkeit von oben gilt:\n", "- Falls $A_i \\downarrow A$, d.h. $A_i \\supseteq A_{i+1} \\forall i \\in \\mathbb{N}$ und $A=\\bigcap_{i\\in\\mathbb{N}} A_i$, so gilt: $lim_{n\\to\\infty}\\mu(A_n)=\\mu(A)$\n", " \n", " \n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "6b877171-10f6-4c8b-ad8a-66ef8910b3b7", "metadata": {}, "source": [ "Eine häufige Konstruktion, auf die wir zurückgreifen werden, ist die sogenannte kleinste $\\sigma$-Algebra $\\mathfrak{A}(\\varepsilon)$, die von einer Menge $\\varepsilon \\subseteq \\mathscr{P}(\\Omega)$ erzeugt wird. Dazu definiert man $\\mathfrak{A} (\\varepsilon)$ als den Schnitt über alle $\\sigma$-Algebren, die $\\varepsilon$ enthalten. Dieser ist wiederum eine $\\sigma$-Algebra. " ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "bad6108d-0a77-44a1-b6fd-d48a6c96f7cc", "metadata": {}, "source": [ "
\n", " \n", "Denkanstoß: Zeigen Sie, dass beliebige Schnitte von $\\sigma$-Algebren $\\sigma$-Algebren sind.
\n", "Hinweis: Die Bearbeitung der Denkanstöße ist grundsätzlich freiwillig." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "d52c0cfe-6f83-46ce-b11b-7cf7fd81b009", "metadata": {}, "source": [ "Diese Konstruktion erlaubt es uns uns vorab gewisse Mengen auszusuchen, deren Messbarkeit wir definitiv sicherstellen wollen und daraufhin das Universum eben so zu konstruieren, dass diese Mengen messbar sind (ohne es dabei unnötig groß zu machen)." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "f67229e4-a0a2-4aa0-a54d-a7db802c72ea", "metadata": {}, "source": [ "### Beispiel\n", "Wir definieren die Borell-$\\sigma$-Algebra $\\mathscr{B} \\subseteq \\mathscr{P}(\\mathbb{R})$ als das Erzeugnis $\\mathscr{B}=\\mathfrak{A}(\\tau)$ der offenen Mengen $\\tau$.\n", "Äquivalente Definitionen sind\n", "- $\\mathscr{B}=\\mathfrak{A}(\\{(a,b)|a\n", "Das verrät uns auch schon das Setting: Wir befinden uns in einem Maßraum $(\\Omega,\\mathscr{A},\\mu)$.\n", "\n", "Der Wert des Lebesgue-Integrals hängt natürlich vom Maß ab, denn ist $\\mu'$ ein zweites Maß auf dem Messraum $(\\Omega,\\mathscr{A})$, so gilt im Allgemeinen nicht $\\mu(A)=\\mu'(A)\\ \\forall A\\in\\mathscr{A}$. Um diese Abhängigkeit zu kennzeichnen, schreiben wir das Lebesgue-Integral über $1_A$ für $A\\in \\mathscr{A}$ wie folgt: $\\int_\\Omega 1_A d\\mu$ oder auch $\\int_\\Omega 1_A(\\omega)d\\mu(\\omega)$, falls wir hervorheben möchten, von welcher Variable der Integrand abhängt. Ist klar, dass über $\\Omega$ integriert wird, wird das $\\Omega$ auch schon mal unterdrückt und man schreibt $\\int 1_A d\\mu$.
\n", "Später werden wir das Lebesgue-Integral auch für weitere Funktionen $f$ definieren. Dafür schreiben wir analog $\\int_\\Omega f d\\mu$ u.s.w.\n", "Für $\\int_\\Omega f(\\omega)\\cdot 1_A(\\omega) d\\mu(\\omega), \\ A \\in \\mathscr{A}$ schreibt man auch $\\int_A f(\\omega) d\\mu(\\omega)=\\int_A f d\\mu$." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "b5f73ab6-3ebb-4d4a-a2e0-d8f12c9d605b", "metadata": {}, "source": [ "## Linearität" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "4051f92c-011d-494a-9cc9-b3c7b0a97167", "metadata": {}, "source": [ "Wir haben das Lebesgue-Integral also mittlerweile für unsere Grundbausteine, die charakteristischen Funktionen, über messbare Mengen definiert.
\n", "Eine weitere Eigenschaft, die wir uns von einem Integral wünschen würden ist Linearität, wie wir es vom Riemann-Integral kennen. Es sollte also gelten $\\int_\\Omega \\sum_{i=1}^n \\lambda_i 1_{A_i}d\\mu\\overset{!}{=}\\sum_{i=1}^n \\lambda_i \\int_\\Omega 1_{A_i}d\\mu$. Da es vorkommen kann, dass $\\mu(A_i)=\\infty$ für gewisse $i\\in\\{1,...,n\\}$ und wir uns noch keine Gedanken um den Fall \"$\\infty-\\infty$\" machen wollen, schränken wir uns zunächst auf nicht-negative $\\lambda_i \\in [0,\\infty]$ ein.\n", "***\n", "### Exkurs - Arithmetik im erweiterten Zahlbereich\n", "Wir setzen $\\mathbb{R}$ zu $[-\\infty,\\infty]$ fort, indem wir die Ordnung analog wie in $[0,\\infty]$ definieren, d.h. $-\\infty0$\n", "- $-\\infty \\cdot x = x \\cdot -\\infty = -x \\cdot \\infty = \\infty \\cdot -x = \\infty \\ \\forall x>0$\n", "
\n", "Außerdem ist folgende Konvention sehr nützlich in der Maßtheorie:\n", "- $-\\infty\\cdot 0= 0\\cdot -\\infty = 0 \\cdot \\infty = \\infty \\cdot 0 = 0$\n", "\n", "Definieren wir also weiter für Linearkombinationen $\\sum_{i=1}^n \\lambda_i 1_{A_i}$, wobei $A_1,...,A_n\\in \\mathbb{A}$, $\\lambda_1,...,\\lambda_n\\in\\mathbb{R}$ das Lebesgue-Integral wie folgt: $\\int_\\Omega \\sum_{i=1}^n \\lambda_i 1_{A_i}d\\mu:=\\sum_{i=1}^n \\lambda_i \\int_\\Omega 1_{A_i}d\\mu$\n", "\n", "Wir schenken uns also selbst die Linearität, indem wir sie künstlichen in die Definition einbauen." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "c05f6251-4dc3-4dcf-b976-7be6ca6e237a", "metadata": {}, "source": [ "
\n", " \n", "### 3. Aufgabe\n", "***\n", "\n", "Ganz so einfach läuft es mit der Definition dann doch nicht. Genau genommen haben wir das Lebesgue Integral für Darstellungen $\\sum_{i=1}^n 1_{A_i}$ von Funktionen $f:\\Omega \\to [0,\\infty]$ via $\\int f d\\mu=\\sum_{i=1}^n\\int_\\Omega 1_{A_i}d\\mu$ definiert. Nun sind diese Darstellungen für gegebenes $f$ aber i.A. nicht eindeutig. Wir müssen also sicherstellen, dass für $\\sum_{i=1}^n \\lambda_i 1_{A_i}=f=\\sum_{i=1}^n \\lambda_i' 1_{A_i}$ die Gleichheit $\\sum_{i=1}^n\\lambda_i\\int_\\Omega 1_{A_i}d\\mu=\\sum_{i=1}^n\\lambda_i'\\int_\\Omega 1_{A_i}d\\mu$ gilt.\n", "Der Beweis dazu ist recht technisch, aber einfach (vgl. Quelle [1], Lemma 3.1.3). Wir empfehlen Ihnen sich den Beweis selbst anzuschauen, gehen hier aber nur auf die Eigenschaften ein, die zur Wohldefiniertheit führen.
\n", "Sei $(\\Omega, \\mathscr{A})$ ein Messraum, zeigen Sie:\n", "- Für disjunkte $A,B \\in \\mathscr{A}$ gilt: $1_{A\\sqcup B}= 1_A + 1_B$\n", "- Für $A \\subset \\bigsqcup_{i\\in \\mathbb{N}} B_i$ mit $A,B_i \\in \\mathscr{A}$ für alle $i\\in \\mathbb{N}$ gilt: $\\mu(A)=\\sum_{i\\in\\mathbb{N}}\\mu(A\\cap B_i)$\n", " \n", "Freiwillige Aufgabe: Zeigen Sie außerdem, dass es zu jeder endlichen Menge von messbaren Mengen $\\{B_i \\in \\mathscr{A}| \\ i\\leq n\\}, \\ n\\in\\mathbb{N}$ eine endliche Menge paarweise disjunkter, messbarer Mengen $\\{B_j' \\in \\mathscr{A}| \\ j \\leq m\\}, \\ m\\in \\mathbb{N}$ gibt, sodass $\\bigcup_{i\\leq n}B_i=\\bigsqcup_{j\\leq m} B_j'$.
" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "70dcab36-dffc-416d-aaeb-7310e0e5ac0f", "metadata": {}, "source": [ "Wir haben nun also die ersten Definition des Lebesgue-Integrals für Funktionen $f:\\Omega \\to [0,\\infty]$, die eine Darstellung $f=\\sum_{i=1}^n\\lambda_i 1_{A_i}, \\ A_i \\in \\mathscr{A}$ haben, linear fortgesetzt und daraus eine zweite, umfassendere Definition des Lebesgue-Integrals erhalten. Wir setzen die Definition nun wieder fort, denn wir wollen natürlich auch negativ-wertige Funktionen integrieren können." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "a5e61ceb-46b7-489d-a888-1b7e447f30e5", "metadata": {}, "source": [ "Dazu zerlegen wir unsere numerische Funktion $f:\\Omega \\to [-\\infty,\\infty]$ (Funktionen mit Wertebereich $[-\\infty,\\infty]$ werden numerisch genannt) in zwei Teile: $f^+:\\Omega \\to [0,\\infty], x\\mapsto f(x)\\cdot 1_{\\{f\\geq 0\\}}$ und $f^-:\\Omega\\to [0,\\infty], x\\mapsto f(x)\\cdot 1_{\\{f<0\\}}$, wobei $\\{f\\geq0\\}$ und $\\{f<0\\}$ Kurznotationen für $\\{\\omega \\in \\Omega | f(\\omega)\\geq 0\\}$ bzw. $\\{\\omega \\in \\Omega | f(\\omega)< 0\\}$ sind. Man könnte also auch $f^+(x)=max(f(x),0)$ und $f^-(x)=-min(f(x),0)$ schreiben, aber wir werden noch sehen, dass die hier eingeführte Schreibweise Vorteile mit sich bringt." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "b17106d7-56cb-4294-a534-45afd31e8c50", "metadata": {}, "source": [ "
\n", " \n", "### 4. Aufgabe\n", "***\n", "Zeichnen Sie den Graphen von $sin:\\mathbb{R} \\to \\mathbb{R}, x\\mapsto sin(x)$ auf dem Intervall $[-2\\pi,2\\pi]$. Zeichnen Sie nun $sin^+$ und $sin^-$ ein." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "87ade390-c423-4e4c-84b1-a534399857e9", "metadata": {}, "source": [ "Nun können wir jede numerische Funktion $f$ allerdings als Linearkombination von $f^+$ und $f^-$ schreiben: $f=f^+-f^-$. Das Schöne ist nun, dass wir damit wieder unsere Definition des Lebesgue-Integrals anwenden können, indem wir wieder linear fortsetzen: $\\int f d\\mu := \\int f^+d\\mu-\\int f^-d\\mu$. Das dürfen wir natürlich wieder nur dann machen, wenn $f^+$ und $f^-$ primitiv sind. Außerdem müssen wir jetzt zusätzlich voraussetzen, dass mindestens einer der beiden Terme $\\int f^+d\\mu, \\int f^-d\\mu$ endlich ist, da wir sonst wieder in den Fall \"$\\infty-\\infty$\" reinlaufen." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "82e74224-69e5-403e-9cc6-27699b62012f", "metadata": {}, "source": [ "Wir haben das Lebesgue-Integral nun für alle einfachen Funktionen definiert, für die zumindest eines der Integrale $\\int f^+d\\mu$, $\\int f^-d\\mu$ kleiner $\\infty$ ist." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "8c3ac345-18a4-4929-ba9d-36d3730eab03", "metadata": {}, "source": [ "
\n", " \n", "Denkanstoß: Überlegen Sie sich, dass $\\{f\\geq 0\\}$ und $\\{f<0\\}$ für einfache $f$ messbar sind und folgern Sie, dass $f^+$ und $f^-$ messbar sind. Nutzen Sie dafür die Definitionen von $f^+$ und $f^-$ via Multiplikation von $f$ mit der entsprechenden charakteristischen Funktion und verwenden Sie, dass für beliebige Mengen $A,B\\subseteq \\Omega$ gilt: $1_A\\cdot 1_B = 1_{A\\cap B}$." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "e122c336-d62f-462e-a710-0244be342c8d", "metadata": {}, "source": [ "Wir wollen aber noch einen Schritt weiter gehen. Das Schöne am Lebesgue-Integral im Vergleich zum Riemann-Integral ist, dass das Lebesgue-Integral gut verträglich mit Grenzwertbildung ist. Das liegt daran, dass die Definition selbst über Grenzwertbildung läuft.
\n", "Wir betrachten nun also nicht mehr einfache Funktionen, sondern Grenzwerte einfacher Funktionen. Dabei beziehen wir uns immer auf punktweise Grenzwerte." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "79bb3780-4017-47a2-9d4a-c00ccb164739", "metadata": {}, "source": [ "### Beispiel\n", "Betrachten Sie zum Beispiel die Funktion $f:\\mathbb{R}\\to\\mathbb{R}, x \\mapsto \\sum_{i=0}^\\infty 2^{-i}\\cdot 1_{[i,\\infty)}(x)$. Dann ist die Funktion Grenzwert einfacher Funktionen, sofern wir auf $\\Omega$ eine $\\sigma$-Algebra definieren, die $[i,\\infty)$ für $i\\in \\mathbb{N}_0$ enthält (z.B. $\\mathfrak{A}(\\{[i,\\infty)|i\\in\\mathbb{N}_0\\})$), denn es gilt $f = lim_{n\\to \\infty}\\sum_{i=0}^n 2^{-i}\\cdot 1_{[i,\\infty)}$." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "21e3e55f-a153-4570-ad1c-010c42dab8af", "metadata": {}, "source": [ "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "b54018bb-3712-471a-8184-d18d952e0481", "metadata": {}, "source": [ "Was wir uns nun wünschen, wenn wir den Definitionsbereich des Lebesgue-Integral auf Grenzfunktionen von einfachen Funktionenfolgen erweitern, ist ein möglichst einfacher Zusammenhang: Für $f_n:\\Omega \\to [-\\infty,\\infty]$, die gegen $f:\\Omega \\to [-\\infty,\\infty]$ konvergiert, wünschen wir uns: $\\int f d\\mu:=\\lim_{n\\to\\infty} \\int f_n d\\mu$.\n", "\n", "Aber Achtung so einfach ist es nicht. Mit folgender Definition kommen wir aber ziemlich nah dran:
\n", "Wir definieren das Integral zunächst wieder für nicht negative, numerischen Funktionen, die Grenzwert einfacher Funktionenfolgen sind. Für $f:\\Omega \\to [0,\\infty]$ setzen wir $\\int f d\\mu := \\sup \\{\\int g d\\mu\\ |\\ g\\leq f, g \\in \\varepsilon^+\\}$, wobei $\\varepsilon^+$ die Menge der nicht negativen, einfachen Funktionen bezeichne.\n", "\n", "\n" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "33fa1ca9-b1d1-40d1-aaf7-8d981ef37175", "metadata": {}, "source": [ "Nun nehmen wir uns unseren alten Trick zur Hand und definieren $\\int f d\\mu := \\int f^+ d\\mu -\\int f^-d\\mu$, sofern wenigstens einer der Summanden endlich ist." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "4eaccab7-89a1-4819-b281-2914dd382dd6", "metadata": {}, "source": [ "***" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "7e22e281-a802-4d91-9d50-cb40698b7e65", "metadata": {}, "source": [ "Soweit war das alles sehr technisch. Wie arbeitet man in der Praxis mit den Integralen? Tatsächlich kommen die bisherigen Konstruktionen darin gar nicht mehr wirklich vor. Sie sind aber der Schlüssel zum Verständnis der wichtigen Sätze. Im folgenden Abschnitt werde ich Ihnen einige der wichtigsten Ergebnisse aus der grundlegenden Maßtheorie vorstellen. Fühlen Sie sich dazu eingeladen, eigens weitere Recherchen anzustellen." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "4d29ba03-ace6-4973-b170-74883890dedd", "metadata": {}, "source": [ "### I) Messbare Abbildungen\n", "Wir haben das Lebegue-Integral nun Schritt für Schritt für eine immer größere Klasse von Funktionen definiert. Aber wie sieht diese Klasse von Funktionen eigentlich aus? Wir können das Lebesgue-Integral für diejenigen $f:\\Omega \\to [-\\infty,\\infty]$ sinnvoll hinschreiben, für die $f^+$ sowie $f^-$ Grenzwert einer Folge primitiver Funktionen ist und $\\int g d\\mu < \\infty$ für $g\\in \\{f^+,f^-\\}$.\n", "Es gibt allerdings noch eine weitaus schönere Charakterisierung dieser Klasse von Funktionen.\n", "
\n", " \n", "### Satz - Messbare Abbildungen\n", "***\n", "Es sei $(\\Omega, \\mathscr{A})$ ein Messraum und $\\mathscr{B}$ die Borell-$\\sigma$-Algebra auf $[\\infty,\\infty]$. Dann heißt eine numerische Funktion $f:\\Omega \\to [-\\infty,\\infty]$ messbar, genau dann, wenn Urbilder messbarer Mengen messbar sind.\n", " \n", "Es lässt sich leicht zeigen, dass\n", "- Linearkombinationen messbarer Funktionen messbar sind und\n", "- (Punktweise!) Grenzwerte messbarer Funktionenfolgen messbar sind.\n", "\n", "Der entscheidende Satz, der uns die gewünschte Charakterisierung liefert, ist der Folgende:\n", "\n", "- Jede messbare, nicht-negative Funktion $f:\\Omega \\to [0,\\infty]$ ist Grenzwert einer (monoton wachsenden) Folge einfacher Funktionen.\n", "\n", " \n", "Bemerkung: Die Borell-$\\sigma$-Algebra auf $[-\\infty,\\infty]$ ist analog zu der Borell-$\\sigma$-Algebra auf $\\mathbb{R}$, die $\\sigma$-Algebra, die von den offenen Mengen erzeugt wird. Die offenen Mengen in $[-\\infty,\\infty]$, sind die Mengen der Form $U, U \\cup \\{-\\infty,\\infty\\}$ und $\\{p\\}\\cup U$ für $p\\in \\{-\\infty,\\infty\\}$, wobei $U\\subseteq \\mathbb{R}$ offen in $\\mathbb{R}$ sei.\n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "0daf4706-456a-4f62-a3f4-9875c24e4109", "metadata": {}, "source": [ "
\n", " \n", "Denkanstoß: Überlegen Sie sich, dass stetige Funktionen messbar sind. Erinnern Sie sich dazu an eine entsprechende Charakterisierung von Stetigkeit, die Sie kennen.\n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "2f4918c2-073f-4b40-9111-c3235d5865b2", "metadata": {}, "source": [ "Aus diesem Satz folgt nun, dass das Lebesgue-Integral für alle nicht-negativen, messbaren, numerischen Abbildungen $f$ sinnvoll definiert ist, d.h. $\\int f d\\mu \\in [0,\\infty]$.\n", "Nun sind $\\{f\\geq 0\\} \\subseteq [-\\infty,\\infty]$ und $\\{f<0\\}\\subseteq[-\\infty,\\infty]$ gerade die Urbilder der Borell-messbaren Mengen $[0,\\infty]$ bzw. $[-\\infty,0)$ und damit für messbare $f$ messbar." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "39926173-aa6d-47e5-b27a-57a4747b9a7f", "metadata": {}, "source": [ "
\n", " \n", "Denkanstoß: Überlegen Sie sich, dass $f$ genau dann messbar ist, wenn $f^+$ und $f^-$ messbar sind.\n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "a1068025-9004-487f-b203-a77c7bdb3742", "metadata": {}, "source": [ "Das Lebesgue-Integral einer Funktion $f:(\\Omega,\\mathscr{A},\\mu) \\to [-\\infty,\\infty]$ ist also genau dann sinnvoll definiert, wenn $f$ messbar ist und wenigstens einer der folgenden Werte endlich ist: $\\int f^+d\\mu,\\int f^-d\\mu$. Solche Funktionen nennen wir quasi-integrierbar (bzgl. $\\mu$). Sind beide Werte endlich, nennen wir $f$ $\\mu$-integrierbar und es gilt $\\int f d\\mu \\in \\mathbb{R}$. " ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "75d692fe-7e32-46fc-9c9a-9f9fd4f40f51", "metadata": {}, "source": [ "### II) Grenzwertsätze" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "ce980e87-29a8-4d76-9b78-2c90667550d7", "metadata": {}, "source": [ "In der Definition des Lebesgue-Integrals wurde schon angekündigt, dass wir das Integral absichtlich so konstruieren, dass es (vor allem im Vergleich zum Riemann-Integral) ein gutes Grenzwertverhalten hat. Aber was heißt das genau?" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "85e6a1a3-aeb6-4719-ab5a-aac302905a76", "metadata": {}, "source": [ "
\n", " \n", "### Satz - Monotones Konvergenztheorem (MCT)\n", "***\n", "Sei $(f_i)_{i\\in \\mathbb{N}}$ eine monoton wachsende, konvergente Folge messbarer Funktionen $f_i:(\\Omega, \\mathbb{A}) \\to [0,\\infty]$ und $f$ der entsprechende (messbare) Grenzwert. Dann gilt: $$lim_{n\\to\\infty} \\int f_n d\\mu=\\int f d\\mu$$\n", " \n", "Bemerkung: Man kann die Voraussetzungen sogar noch abschwächen, indem man sogenannte $\\mu$-fast-überall-Konvergenz fordert. Das klingt kompliziert, heißt aber nur, dass $f_i(\\omega) \\to f(\\omega)$ für alle $\\omega \\in \\Omega \\setminus \\mathscr{N}$, wobei $\\mathscr{N}\\in \\mathscr{A}$ eine Nullmenge sei, d.h. $\\mu(\\mathscr{N})=0$. Sie sind herzlich dazu eingeladen sich mit diesen Begriffen weitergehend zu beschäftigen. Er spielt in der Analysis eine große Rolle (zum Beispiel bei der Konstruktion von $L^p$-Räumen).\n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "35612637-1f16-4f56-99cc-f6cbc97e5160", "metadata": {}, "source": [ "Liegen Funktionen $f$ vor, die nicht nicht-negativ sind, muss man $f$ in $f^+$ und $f^-$ zerlegen und das Theorem auf die einzelnen Bestandteile anwenden. Oder aber man wendet folgendes Theorem an:" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "d020e264-f551-4f52-b4a7-ed21c96854fa", "metadata": {}, "source": [ "
\n", " \n", "### Satz - Dominantes Konvergenztheorem (DCT)\n", "***\n", "Sei $(f_i)_{i\\in \\mathbb{N}}$ eine konvergente Folge messbarer Funktionen $f_i:(\\Omega, \\mathbb{A}) \\to [-\\infty,\\infty]$ mit (messbarem) Grenzwert $f$ die betraglich durch eine $\\mu$-integrierbare Funktion $g$ beschränkt sei, d.h.: $|f_i(x)|\\leq g(x) \\ \\forall i\\in \\mathbb{N}, x \\in \\Omega$, dann sind auch die $f_i$ sowie $f$ $\\mu$-integrierbar und es gilt: $$lim_{n\\to\\infty} \\int f_n d\\mu=\\int f d\\mu$$\n", " \n", "Bemerkung: Analog zum MCT reicht es auch hier $\\mu$-fast-überall-Konvergenz und Beschränktheit fast überall zu fordern.\n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "4730c888-4154-4dcc-9ba5-8dde782616c2", "metadata": {}, "source": [ "### III) Satz von Carathéodory - Maße einfach definieren" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "4b518829-b925-4ceb-88e1-1c08938e096a", "metadata": {}, "source": [ "Nun stellt sich die Frage, wie wir das neu erlangte Wissen in Kontext setzen können. Was hat das neu definierte Integral mit dem uns bekannten Riemann-Integral zu tun? Um diese Frage zu beantworten (was wir im nächsten Abschnitt tun werden), müssen wir zurück zu unserer ursprünglichen Motivation, dem Volumen.\n", "\n", "Unsere ursprüngliche Idee war es, ein Integral zu definieren, sodass $\\int_A d\\lambda = vol(A)$ ist. Nun ist die Frage, was das \"natürliche\" Maß auf $\\mathbb{R}$ ist, wenn es überhaupt ein solches gibt. Was wir natürlicherweise als Volumen in $\\mathbb{R}$ gegeben haben, ist die Länge $vol([a,b))$ eines Intervalls $[a,b]$, gegeben durch $vol([a,b])=b-a$ für $a\n", "Wir hätten also gerne ein Maß $\\lambda$ auf $\\mathbb{R}$, sodass den Intervallen $[a,b]$ genau der Wert $\\lambda([a,b))=b-a$ zuordnet wird.\n", "\n", "Der [Satz von Carathéodory](https://de.wikipedia.org/wiki/Ma%C3%9Ferweiterungssatz_von_Carath%C3%A9odory#Formulierung_des_Satzes) besagt nun, dass $\\sigma$-additive Funktionen $vol: \\mathcal{S} \\to [0,\\infty]$ mit $vol(\\emptyset)=0$ eindeutig auf $\\mathfrak{A}(\\mathcal{S})$ fortgesetzt werden können, sodass die Fortsetzung $\\lambda:\\mathfrak{A}(\\mathcal{S})\\to[0,\\infty]$ ein Maß ist (zumindest, falls $\\mathcal{S}$ ein sogenannter Semiring ist). Dass wir $vol$ fortsetzen, bedeutet einfach nur, dass $vol$ die Einschränkung von $\\lambda$ auf $\\mathcal{S}$ ist, d.h. $\\lambda(S)=vol(S)\\ \\forall S\\in\\mathcal{S}$.\n", "\n", "Nun bilden die Intervalle $\\mathcal{S}:=\\{(a,b]|a\\leq b\\}$ gerade solch einen Semiring und wie wir schon diskutiert haben, gilt $\\mathscr{B}=\\mathfrak{A}(\\mathcal{S})$. Es lässt sich einfach nachprüfen, dass $vol:\\mathcal{S}\\to [0,\\infty], (a,b] \\mapsto b-a$ $\\sigma$-additiv ist und wegen $(a,a]=\\emptyset$ gilt auch $vol(\\emptyset) = a-a =0$. Damit sind alle Voraussetzungen erfüllt, sodass wir aus dem natürlichen Volumen $vol$ ein eindeutiges Maß $\\lambda: \\mathscr{B} \\to [0,\\infty]$ auf der Borell-$\\sigma$-Algebra erhalten." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "963680b2-43b1-4d32-9365-4a40855a85e2", "metadata": {}, "source": [ "### IV) Bezug zum Riemann-Integral\n", "Wenn wir nun $f:(\\mathbb{R},\\mathscr{B},\\lambda)\\to \\mathbb{R}$ betrachten, können wir sowohl Riemann-integrieren (sofern $f$ Riemann-integrierbar ist) als auch Lebesgue-integrieren (sofern $f$ $\\lambda$-intgerierbar ist). Aber welchen Bezug haben die verschiedenen Ergebnisse zueinander?\n", "\n", "
\n", " \n", "### Satz - Zusammenhang Lebesgue- und Riemannn-Integral\n", "***\n", "Seien $a,b \\in \\mathbb{R}$ und $a\n", "Ist $g$ Riemann-integrierbar auf $[a,b]$, dann stimmen die Werte von Lebesgue- und Riemann-Integral überein, d.h. $\\int_{[a,b]} g d\\lambda= \\int_a^b g(x) dx$\n", " \n", "
." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "391e6285-09dd-49ff-9e14-8519d50667e3", "metadata": {}, "source": [ "Es lässt sich mit relativ wenig Aufwand ein Korollar folgern." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "0e1bbbe0-5ade-4c23-a967-5cd1b8245a90", "metadata": {}, "source": [ "
\n", " \n", "### Korollar\n", "***\n", "Sei $f:\\mathbb{R}\\to \\mathbb{R}$ messbar und auf jedem kompakten Intervall $I\\subseteq \\mathbb{R}$ beschränkt und Riemann-integrierbar, dann sind folgende Aussagen äquivalent:\n", " \n", "- $|f|$ ist uneigentlich Riemann-integrierbar\n", "- $f$ ist $\\lambda$-integrierbar\n", " \n", "Außerdem stimmen die Werte der Integrale überein: $\\int_\\mathbb{R} fd\\lambda =\\int_{-\\infty}^\\infty f(x) dx$. \n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "fbc7fdfb-da87-43d4-bcb8-5cb0a7235c36", "metadata": {}, "source": [ "
\n", " \n", "### Rückblick-Aufgabe\n", "***\n", " \n", "Wählen Sie sich einen der Abschnitte I), II) oder IV) aus und beweisen Sie die dort getätigten Aussagen. Sie dürfen die vorausgehenden Abschnitte ohne Beweis voraussetzen.\n", " \n", "Hinweise zur Recherche: Ihnen ist explizit erlaubt die Beweise zu recherchieren. Eine eigenständige Herleitung ist weder gewünscht, noch erwartet. Da die Aussagen alle recht grundlegend sind, sollten Sie sie in jeder Einführung zur Maß- und Integrationstheorie finden. Gängigerweise werden die hier behandelten Aussagen auch in der Analysis bzw. Stochastik gelehrt. Sie sollten die entsprechenden Beweise also auch in den Skripten zu diesen Modulen finden.\n", " \n", "Hinweis zur Abschnittswahl: Wenn Sie möchten, dürfen Sie sich auch Abschnitt III) für Ihre Bearbeitung aussuchen. Es sei aber darauf hingewiesen, dass dieses Notebook die nötigen Vorkenntnisse für den Beweis von Carathéodory nicht abdeckt und der Stoff im Vergleich zu den anderen Abschnitten recht abstrakt ist." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "1219fdae-72f3-45cc-a872-9bcc298a149c", "metadata": {}, "source": [ "### Literaturverzeichnis\n", "- [1] Skript zur Stochastik I, Leif Döring (2024), Universität Mannheim: https://www.wim.uni-mannheim.de/doering/teaching/past-semesters/hws22\n", "- [2] Maßerweiterungssatz von Carathéodory (2023). In Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. https://de.wikipedia.org\n" ] } ], "metadata": { "kernelspec": { "display_name": "Python 3 (ipykernel)", "language": "python", "name": "python3" }, "language_info": { "codemirror_mode": { "name": "ipython", "version": 3 }, "file_extension": ".py", "mimetype": "text/x-python", "name": "python", "nbconvert_exporter": "python", "pygments_lexer": "ipython3", "version": "3.9.7" } }, "nbformat": 4, "nbformat_minor": 5 }