{ "cells": [ { "cell_type": "markdown", "id": "84314218-85a5-4877-b88d-faf7066d5f13", "metadata": {}, "source": [ "# Galoistheorie" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "56b7dc36-23ac-4ed4-8611-6bbd9dbdb452", "metadata": {}, "source": [ "
\n", " \n", "Ziel des Notebooks:\n", "- Satz von Abel-Ruffini
\n", " Warum existiert für Polynome fünften oder höheren Grades keine Formel, mit der man die Nullstellen desselben bestimmen kann?\n", "\n", "Mathematische Tools:\n", "- Galoistheorie und dabei insbesondere Körpertheorie\n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "7058c9e8-4901-45e3-a665-8be72a593af3", "metadata": {}, "source": [ "Eine der grundlegenden Dinge, die man in der Schule lernt, ist, wie man die Nullstellen eines quadratischen Polynoms berechnet. Sie erinnern sich sicher noch an die $pq$- oder auch $abc$-Formel.\n", "Vielleicht haben Sie auch schon mal gehört, dass solch eine Formel für Polynome dritten und sogar vierten Grades existiert (auch wenn diese nicht gerade Schönheiten sind). Nachdem diese Formeln gefunden worden sind, haben sich viele Mathematiker natürlich direkt daran versucht, eine Formel für die Nullstellen von Polynomen fünften Grades zu finden. Tatsächlich ist das aber unmöglich, wie wir in diesem Notebook ausführlich zeigen werden." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "bd20f649-2d4a-450d-ae59-44fc43834f8c", "metadata": {}, "source": [ "## Was wollen wir eigentlich beweisen?" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "057000c7-0e15-4d3e-a892-ec1b3fb4cf2a", "metadata": {}, "source": [ "Bevor wir beweisen können, dass für Polynome fünften oder höheren Grades keine Formel existiert, die uns die Nullstellen des Polynoms zurückgibt, müssen wir unser Problem erst einmal formalisieren. Was verstehen wir eigentlich unter einer \"Formel\"?" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "8e2b52da-36b5-48e5-8acd-06ee60a82796", "metadata": {}, "source": [ "Sei $K$ für den Rest des Abschnitts ein Körper.
\n", "In der Mathematik versteht man unter einer Formel je nach Fachgebiet etwas völlig anderes. In unserer konkreten Fragestellung versuchen wir die Nullstellen eines Polynoms $p \\in K[x]:=\\big\\{\\sum_{i=1}^na_ix^i|a_i\\in K\\big\\}$ mithilfe ihrer Koeffizienten darzustellen. Dabei erlauben wir die Operationen \"$+$, \"$-$\",\"$\\cdot$\" & \"$\\div$\", die wir als Grundrechenarten bezeichnen, und die Radikalbildung $\\sqrt[n]{\\cdot}, n \\in \\mathbb{N}$." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "171ebeb1-de19-40ea-8db4-24dac8bd3793", "metadata": {}, "source": [ "
\n", " \n", "### Definition - Formel\n", "***\n", "Wir bezeichnen Ausdrücke der Form \"$a$\" für $a\\in K$ sowie Ausdrücke der Form \"$x$\" als Grundterme. Dabei nimmt $x$ die Rolle einer Unbestimmten ein.\n", " \n", "Wir definieren den Begriff Term rekursiv. $T$ wird als Term bezeichnet, wenn $T$ ein Grundterm oder ein Audruck der Form \"$t_1\\circ t_2$\" für $\\circ \\in \\{+,-,\\cdot,\\div\\}$ bzw. der Form \"$\\sqrt[n]{t}$\" für $n\\in \\mathbb{N}$ ist, wobei $t_1,t_2$ und $t$ bereits Terme sind.\n", "\n", "Eine Formel $F=F(x_1,...,x_n)$ ist ein Term mit Unbestimmten $x_1,...,x_n$, wobei $n\\in \\mathbb{N}_0$; und damit eine Komposition von Grundrechenarten, Radikalbildung und den konstanten Abbildungen $x \\mapsto a, a\\in K$.\n", " \n", "Bemerkung: Unbestimmte werden oft nicht streng von tatsächlichen Zahlen unterschieden. So nehmen z.B. bei der $pq$-Formel $p$ und $q$ einerseits die Rolle der Unbestimmten ein, andererseits werden Sie auch häufig als Elemente der reellen Zahlen behandelt. Die strenge Unterscheidung kommt aus der Logik und ist in der mathematischen Praxis meist vernachlässigbar. Wir werden es damit daher auch hier nicht allzu genau nehmen. Machen Sie sich dennoch den Unterschied klar und überlegen Sie, wann die Symbole welche Rolle einnehmen.\n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "fff95d3c-5ae0-436e-9232-87d2aa0f551b", "metadata": {}, "source": [ "Die \"$pq$-Formel\" ist also genau genommen keine Formel, sondern sie besteht aus zwei Formeln: $F_+(p,q):=-\\frac{p}{2}+ \\sqrt{\\left(\\frac{p}{2}\\right)^2-q}$ und $F_-(p,q):=-\\frac{p}{2} - \\sqrt{\\left(\\frac{p}{2}\\right)^2-q}$, wobei $p$ und $q$ die Unbestimmten sind." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "73148fa6-4800-41da-999c-846d3ab1081e", "metadata": {}, "source": [ "Unser Ziel ist es für festes $n\\in \\mathbb{N}$ eine Familie von Formeln zu finden, die uns die Nullstellenmenge eines Polynoms vom Grad $n$ zurückgibt, wenn wir die Koeffizienten des Polynoms in die Formeln einsetzen.
\n", "Damit wir über Nullstellen von Polynomen sprechen können, müssen wir uns allerdings erst einmal klar machen, was wir als Nullstellen gelten lassen wollen. Zum Beispiel besitzt $x^2+1\\in \\mathbb{R}[x]$ keine Nullstellen in $\\mathbb{R}$, wohl aber in $\\mathbb{C}$.\n", "Grundsätzlich ist es besser, wenn uns die Formeln \"alle Nullstellen\" zurückgeben. \"Unliebsame\" Nullstellen wie $\\pm i$ lassen sich dann immer noch verwerfen (Was genau \"unliebsam\" bedeutet, hängt natürlich von der konkreten Anwendung ab).\n", "\n", "Wir brauchen also einen Köper $L\\supseteq K$, in dem alle Nullstellen von Polynomen drin sind. $L$ soll also die Eigenschaft haben, dass es keinen Körper $M \\supseteq L$ gebe, für den ein Polynom $p(x)\\in K[x]$ existiert, das eine Nullstelle in $M$, nicht aber in $L$, hat. Das heißt für jeden Körper $M\\supseteq L$ und alle Polynome $p(x)\\in K[x]$ soll gelten: $\\forall \\alpha \\in M: p(\\alpha)=0 \\implies \\alpha \\in L$.
\n", "Genau genommen meinen wir eine Körpererweiterung, wenn wir von einem Körper $M\\supseteq K$ sprechen. Diesen Begriff werden wir nun definieren. Außerdem können wir von folgendem Satz auf die Existenz (und in gewissem Sinne Eindeutigkeit!) unseres gesuchten Körpers $L$ schließen:" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "8a14931c-9a19-4b41-8870-e384830f5d61", "metadata": {}, "source": [ "
\n", " \n", "### Definition und Satz - Algebraischer Abschluss\n", "***\n", "Seien $(K,+_K,\\cdot_K),(L,+_L,\\cdot_L)$ Körper mit $K\\subseteq L$, dann nennen wir $L$ eine Körpererweiterung von $K$, falls $+_K$ die Einschränkung von $+_L:L\\times L\\to L$ auf $K$ und $\\cdot_K$ die Einschränkung von $\\cdot_L$ auf $K$ ist. Wir schreiben für eine Körpererweiterung $L$ von $K$ auch $L\\big/K$ (gesprochen $L$ über $K$). Oft schreibt man auch lax $K\\subseteq L$ und fordert implizit, die genannten Bedingungen für Addition und Multiplikation.\n", " \n", "Bemerkung: Beachten Sie bei folgender Definition, dass sich Polynome $p(x)\\in K[x]$ als Elemente von $L[x]$ auffassen lassen, falls $L\\big/ K$ eine Körper ist; denn die Koeffizienten von $p$ liegen als Elemente von $K$ insbesondere in $L$.\n", "***\n", "Ein Körper $L$ heißt algebraisch abgeschlossen (über $K$), falls jedes Polynom $p\\in K[x]$ über $L$ in Linearfaktoren zerfällt, das heißt: $\\forall p(x)\\in K[x]\\ \\exists \\ (\\alpha_i)_{i\\leq deg(p)} \\subseteq L \\ \\exists a \\in K: p(x)=a\\prod_{i\\leq n}(x-\\alpha_i)$, dabei müssen die $\\alpha_i$ nicht notwendigerweise paarweise verschieden sein.\n", " \n", "Bemerkung: Tatsächlich folgt aus dieser Bedingung bereits, dass alle $p\\in L[x]$ über $L$ in Linearfaktoren zerfallen. Man braucht daher nicht anzugeben über welchem Körper $L$ algebraisch abgeschlossen ist, denn sind $K,M$ Körper mit $K\\subseteq M$, dann ist $L$ genau dann über $K$ algebraisch abgeschlossen, wenn er es über $M$ ist. Diese Aussage zu beweisen, würde allerdings den Rahmen dieses Notebooks sprengen.\n", " \n", "***\n", "Eine Körpererweiterung $L/K$ heißt algebraisch, falls $\\forall \\alpha \\in L \\ \\exists p(x) \\in K[x]: p(\\alpha)=0$.
\n", "Es lässt sich zeigen, dass für jeden Körper $K$ eine algebraiche Körperweiterung $L\\supseteq K$ existiert, sodass $L$ algebraisch abgeschlossen ist. Wir nennen $L$ in dem Fall einen algebraischen Abschluss von $K$.\n", " \n", "Bemerkung: Es lässt sich beweisen, dass für gegebene algebraische Abschlüsse $L, L'$ von $K$ ein Isomorphismus zwischen $L$ und $L'$ existiert, d.h. algebraische Abschlüsse sind eindeutig bis auf Isomorphie. Man spricht daher auch von dem algebraischen Abschluss. Das rechtfertigt die Notation $L=\\overline{K}$, die wir absofort für den algebraischen Abschluss $L$ eines Körpers $K$ verwenden werden. Eine Konstruktion des algebraischen Abschlusses finden Sie im Notebook \"Algebraischer Abschluss\".\n", "\n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "154c311e-031e-433d-8c34-c45d67a4adc2", "metadata": {}, "source": [ "
\n", " \n", "Denkanstoß: Überlegen Sie sich, warum der algebraische Abschluss die gewünschte Eigenschaft hat.\n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "3517e2eb-0b81-4f8f-b49f-755877bc94f3", "metadata": {}, "source": [ "Ein bekanntes Beispiel eines algebraischen Abschlusses ist $\\mathbb{C=\\overline{R}\\not=\\overline{Q}}$." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "35e68b04-f829-49f3-8289-8561558a9c82", "metadata": {}, "source": [ "#### Unsere Fragestellung lautet damit:\n", "
\n", "Gibt es für gegebenes $n\\in \\mathbb{N}$ eine Familie von Formeln $\\{F_i(x_0,...,x_n)\\}_{i\\leq n}$ die uns die Nullstellenmenge eines beliebigen Polynoms $p(x)=a_nx^n+...+a_0 \\in K[x]$ zurückgibt, wenn wir dessen Koeffizienten in die Formel einsetzen?
\n", "Anders ausgedrückt: Existiert für gegebenes $n\\in \\mathbb{N}$ eine Familie von Formeln $\\{F_i(x_0,...,x_n)\\}_{i\\leq n}$ mit $\\{F_i(a_0,...,a_n)\\}_{i\\leq n} = NST(p):= \\big\\{\\alpha\\in \\overline{K} | p(\\alpha)=0\\big\\}$?\n", " \n", "Eine Formelfamilie mit dem gewünschten Verhalten nennen wir Lösungsformel (Der Begriff ist historisch gewachsen. Die Familie an sich ist natürlich keine Formel, sondern eben eine Familie von Formeln).\n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "ba837c02-6058-4ad0-ba4e-cb55895b07c4", "metadata": {}, "source": [ "Der Satz von Abel-Ruffini, den wir in diesem Notebook beweisen werden sagt nun aus, dass für $n=5$ keine Lösungsformel existiert.
\n", "Eine lückenhafte Version des Satzes stellte 1799 Paolo Ruffini vor. Sein Beweis fußte weitgehend auf gruppentheoretischen Argumenten, die seiner Zeit noch sehr neu waren und ebendeshalb nicht gemeinhin akzeptiert wurden. Daher wurde dem Beweis damals wenig Beachtung geschenkt. 1824 gelang [Niels Henrik Abel](https://de.wikipedia.org/wiki/Niels_Henrik_Abel) ohne Kenntnis der Arbeit Ruffinis ein vollständiger Beweis, der überzeugen konnte.
\n", "Der moderne Zugang zum Satz von Abel-Ruffini ist allerdings die Galoistheorie, die [Évariste Galois](https://de.wikipedia.org/wiki/%C3%89variste_Galois) wenig später entwickelte. Sie zeigt auf sehr elegante Art und Weise, wie Gruppen- und Körpertheorie zusammenspielen und liefert ein allgemeines Theoriegebäude, aus dem der Satz von Abel-Ruffini als einfaches Lemma folgt. Sie gilt außerdem als eine der schönsten Theorien der Mathematik, weswegen auch wir diesem Ansatz folgen möchten." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "01465976-e812-4529-b111-64002a9c9959", "metadata": {}, "source": [ "## Anschauungen ohne Begriffe sind blind" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "d920706b-783a-4b9f-a39c-4b16c72b2d27", "metadata": {}, "source": [ "Bevor wir uns der Frage widmen können, wie man den Satz von Abel-Ruffini beweist, müssen wir uns zunächst um die Begriffs- & Notationsbildung rund um das Thema Körpererweiterung kümmern, damit wir ordentlich mit den Konzepten, die uns begegnen werden, arbeiten können." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "70c36383-994b-4412-8f4f-3a6c7c540184", "metadata": {}, "source": [ "
\n", " \n", "### Definitionen aus der Körpertheorie I\n", "***\n", " \n", "In der folgenden Aufgabe werden Sie zeigen, dass $L$ ein $K$-Vektorraum ist. Wir bezeichenen die Dimension von $L$ als $K$-Vektorraum als den Grad von $L$ über $K$ und schreiben dafür $[L:K]$.\n", "\n", "Eine Körpererweiterung $L\\big/K$ heißt endlich, falls $[L:K]<\\infty$.\n", " \n", "Für $\\alpha \\in \\overline{K}$ definiert (wie Sie gleich zeigen werden) $K(\\alpha):=\\bigcap_{M\\in\\mathscr{F}}M$ einen Körper, wobei $\\mathscr{F}:=\\{M\\subseteq \\overline{K} \\ \\big|\\ M\\big/K \\text{ Körpererweiterung mit } \\alpha \\in M\\}$. $K(\\alpha)$ wird \"$K$ adjungiert $\\alpha$\" gesprochen.\n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "8bfef952-42ac-4f46-b51e-22fda8034c5b", "metadata": {}, "source": [ "
\n", " \n", "### 1. Aufgabe\n", "***\n", "Sei $L\\big/K$ eine Körpererweiterung.\n", "- 1.1 Zeigen Sie, dass $L$ ein $K$-Vektorraum ist.\n", "- 1.2 Sei $\\{M_i\\}_{i\\in I}$ eine Familie von Körpern, wobei $I$ eine Indexmenge sei und $\\forall i\\in I:M_i \\subseteq\\overline{K}$ gelte. Zeigen Sie, dass dann der Schnitt der Körper $\\bigcap_{i\\in I}M_i$ ein Körper ist.\n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "8f39c3c3-97b1-4a6b-9407-b86a76b1818b", "metadata": {}, "source": [ "
\n", " \n", "### Definitionen aus der Körpertheorie II\n", "***\n", "Sei $L\\big/K$ eine algebraische Körpererweiterung.\n", "Falls ein $\\alpha \\in \\overline{K}$ mit $K(\\alpha)=L$ existiert, wird $L\\big/K$ einfach genannt. $\\alpha$ heißt in dem Fall primitives Element.\n", "\n", "Eine (endliche) Folge von Körpererweiterungen $K_0 \\subseteq K_1 \\subseteq ... \\subseteq K_l$ wird als Körperturm bezeichnet. Der Körperturm heißt auflösbar, falls $K_{i}\\big/K_{i-1}$ für alle $i=1...l$ einfach ist und ein primitives Element $\\alpha \\in L$ der Form $\\alpha=\\sqrt[k]{\\lambda}$ für ein $k\\in \\mathbb{N}, \\lambda \\in K$ existiert. Elemente dieser Form nennen wir auch Radikalelemente.\n", " \n", "Bemerkung: Der Körper $L\\supseteq K$ kann stets als Teilmenge von $\\overline{K}$ verstanden werden, falls $L\\big/K$ algebraisch ist. Denn dann existiert ein Teilkörper $\\tilde L \\subseteq \\overline K$ mit $L\\cong \\hat L$. Der Beweis dafür besteht im Prinzip nur aus der Konstruktion eines geeigneten Isomorphismus und wird dem interessierten Leser als Übung überlassen (Versuchen Sie es ruhig, der Beweis ist wirklich nicht schwierig!).\n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "77a916b4-0577-4e8f-baf7-8a8ed29f320c", "metadata": {}, "source": [ "## Von Formeln zu Körpertürmen" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "258b8647-c020-4cae-9afb-7a210fea05a2", "metadata": {}, "source": [ "Sie fragen sich wahrscheinlich nun, wie uns diese Begrifflichkeiten dabei helfen sollen, eine Lösungsfamilie zu finden bzw. zu zeigen, dass keine existiert. Auf den ersten Blick haben Formeln bzw. Formelfamilien überhaupt nichts mit Körpererweiterungen zu tun. Dieser Eindruck täuscht allerdings, denn tatsächlich induziert eine Formel ganz natürlich einen Körperturm. Betrachten Sie dazu folgendes Beispiel." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "af26b17a-bfbd-4942-bb22-05f34a47ba7b", "metadata": {}, "source": [ "### Die $abc$-Formel\n", "Die \"$abc$-Formel\" ist formal gesehen die Formelfamilie $\\{F_*(a,b,c)\\}_{* \\in \\{+,-\\}}$, wobei $F_*(a,b,c):=\\frac{1}{2a}(-b*\\sqrt{b^2-4ac}), \\ * \\in\\{+,-\\}$.
\n", "Betrachten wir zunächst die Formel $F_+(a,b,c)$. Wir können diese Formel als Abbildung verstehen, die uns, wie wir es aus der Schule kennen, zu einem reellen Polynom zweiten Grades eine (ggfs. komplexe) Nullstelle zurückgibt: $F_+: \\mathbb{R}^3 \\to \\mathbb{C}, \\ (a,b,c) \\mapsto F_+(a,b,c)=\\frac{1}{2a}(-b+\\sqrt{b^2-4ac})$.
\n", "Der Definitionsbereich $\\mathbb{R}^3$ erklärt sich dadurch, dass ein Polynom zweiten Grades $ax^2+bx+c$ vollständig durch seine Koeffizienten $a,b,c$ erklärt ist.\n", "\n", "Wie Sie wahrscheinlich erwarten würden, erhalten Sie Null, wenn Sie $x=F_+(a,b,c)$ in $p(x)=ax^2+bx+c$ einsetzen (Rechnen Sie das gerne nach). Das heißt aber, dass die Forderung $a,b,c\\in \\mathbb{R}$ viel zu stark ist. Was Sie brauchen, um zu zeigen, dass $F_+(a,b,c)$ Nullstelle von $p$ ist, sind (fast nur) die Körperaxiome.
\n", "Sie können $F_+(a,b,c)$ also genau so gut als Abbildung $F_+: K \\to \\overline{K}$ verstehen, wobei $K$ irgendein Körper mit $1+1\\not=0$ sei." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "c9ae2818-ac8c-471e-94be-eec3a94a295e", "metadata": {}, "source": [ "
\n", " \n", "Denkanstoß: Warum brauchen wir außer der Körperaxiome noch die Bedingung $1+1\\not=0$?\n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "d07f70de-cd72-4d54-9945-df964d762925", "metadata": {}, "source": [ "Die Formel ist nun ihrerseits aus Termen zusammengesetzt. Wir können uns nun die Frage stellen, in welchen Teilkörpern von $\\overline{K}$ diese Terme leben. Fixieren Sie dazu $p=ax^2+bx+c\\in K[x]$.
\n", "Wir zerlegen $F_+(a,b,c)$ nun mithilfe eines sogenannten Formeldiagramms in seine einzelnen Bestandteile. Dafür seien $a,b,c\\in K$ fixiert." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "420165cb-7b11-4248-8a59-2a75f254bddb", "metadata": {}, "source": [ "![abc-tree](./abc-tree.png)" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "275a5ff5-986b-4721-a030-85fce93d8031", "metadata": {}, "source": [ "Um $F_+$ in $(a,b,c)$ auszuwerten, arbeiten wir uns im Formeldiagramm von unten nach oben. In unserem Fall starten wir also mit den Knoten $a$ und $c$. Das sind beides Elemente aus $K$. Diesen \"Ast\" des Diagramms laufen wir nun weiter hoch. Dabei erhalten wir stets eine Körpererweiterung.
\n", "Wir berechnen $a\\cdot c$ und laufen damit in die Körpererweiterung $K(ac)\\big/K$. Da $K$ als Körper multiplikativ abgeschlossen ist, ist die Körpererweiterung natürlich trivial, d.h. $K(ac)=K$. Das geht nun so weiter: Um zum nächsthöheren Knoten zu klettern, berechnen wir $4\\cdot ac$ und laufen von $K=K(ac)$ zu $K=K(4ac)$. Nun wollen wir zum Knoten $b^2-4abc$ laufen. Dafür muss allerdings erst der Knoten $b^2$ berechnet werden. Wir laufen also wieder von den beiden Knoten $b$ zum Knoten $b\\cdot b =b^2$ und erhalten dabei die triviale Körpererweiterung $K(b^2)\\big/K$. Nun berechnen wir $b^2-4ac$ und erhalten damit die Körpererweiterungen $K(b^2-4ac)\\big/K(b^2)$ und $K(b^2-4ac)\\big/K(4ac)$, die beide nichts anderes als $K\\big/K$ sind." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "1328c202-16ee-4018-ae51-473665b593ae", "metadata": {}, "source": [ "Wie Sie wahrscheinlich bereits bemerkt haben, sind die Körpererweiterungen bei den Operationen $+,-,\\cdot,\\div$ alle trivial und damit recht langweilig. Spannend ist der folgende Schritt:
\n", "Nun ziehen wir die Wurzel aus $b^2-4ac$ und erhalten damit die Körpererweiterung $K\\big(\\sqrt{b^2-4ac}\\big)\\big/K$. Diese Körpererweiterung ist im Allgemeinen nicht trivial!
\n", "Alle weiteren Schritte führen wieder nur auf triviale Körpererweiterungen, weswegen wir diese nicht weiter betrachten. Die Formel $F_+(a,b,c)$ (mit fixiertem $a,b,c$) induziert uns also den Körperturm $K\\subseteq K\\big(\\sqrt{b^2-4ac}\\big)$. Dabei haben wir die trivialen Körpererweiterungen ausgelassen." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "f6147db5-fb9d-4906-b5b7-e02285642128", "metadata": {}, "source": [ "
\n", " \n", "Denkanstoß: Überlegen Sie sich, dass der letzte Körper des Körperturms (in diesem Fall also $K\\big(\\sqrt{b^2-4ac}\\big)$) mindestens eine Nullstelle von $p$ enthält.\n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "50a8ecdb-ecd0-4454-85ff-3e29a28c2de9", "metadata": {}, "source": [ "In der folgenden Aufgabe werden Sie den zu einer gegebenen Formel zugehörigen Körperturm eigenhändig bestimmen. Dazu vorab einige Bemerkungen:
\n", "Triviale Körpererweiterungen müssen nicht bestimmt werden. Anstatt die $abc$-Formel in ihre Grundterme zu zerlegen, hätten wir also auch folgendes (reduziertes) Formeldiagramm zeichnen können." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "0fad0c0d-95a5-472d-8d6c-b0648bc795a6", "metadata": {}, "source": [ "![red abc-tree](./red_abc-tree.png)" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "09c4b121-3eb7-4bb7-9268-ad71b1a326b0", "metadata": {}, "source": [ "In einem reduzierten Formeldiagram fassen Sie also alle Operationen, bezüglich derer der Körper abgeschlossen ist zusammen. Wir erhalten also aus diesem Diagramm natürlich denselben Körperturm." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "9b6c3636-49af-4b73-b822-000ae01908ff", "metadata": {}, "source": [ "Im Allgemeinen ist der Körperturm, den Sie aus einer Formel erhalten nicht eindeutig, wie man anhand der Formel $F(a,b):=\\sqrt{a}+\\sqrt{b}$ sieht. Hier erhalten wir für $\\sqrt{b}$ die Erweiterung $K\\big(\\sqrt{b}\\big)\\big/K$ und für $\\sqrt{a}$ die Erweiterung $K\\big(\\sqrt{a}\\big)\\big/K$. Für $\\sqrt{a}+\\sqrt{b}$ erhalten wir wiederum die beiden Körpererweiterungen $K\\big(\\sqrt{a}+\\sqrt{b}\\big)\\big/K\\big(\\sqrt{a}\\big)$. Insgesamt induziert $F(a,b)$ also die Körpertürme $K\\subseteq K\\big(\\sqrt{a}\\big) \\subseteq K\\big(\\sqrt{a}+\\sqrt{b}\\big)$ und $K\\subseteq K\\big(\\sqrt{b}\\big) \\subseteq K\\big(\\sqrt{a}+\\sqrt{b}\\big)$." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "efdaa4e3-2bc5-48e1-a5da-03392a25191f", "metadata": {}, "source": [ "![ramified reduced tree](ramified_tree.png)" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "8fade12b-a6b3-4e79-90ba-cf8faedf7b9a", "metadata": {}, "source": [ "
\n", "Gibt es zu einem Körperturm $K_0 \\subseteq ... \\subseteq K_l$ eine Formel, die den Körperturm induziert, so nennen wir den Körperturm formelinduziert.\n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "ea76f11b-6da8-478e-8242-908f77771063", "metadata": {}, "source": [ "
\n", " \n", "### 2. Aufgabe\n", "***\n", "\n", "Zeichnen Sie zu folgenden Formeln mit fixierten $a,b,c,d\\in K$ das (reduzierte) Formeldiagramm und berechnen Sie einen Körperturm, der von der Formel induziert wird.\n", "- $F(a,b):=\\sqrt[7]{\\sqrt{a_1}+14b^2}-\\sqrt[4]{2}$\n", "- $F'(c,d):=\\sqrt{1-c^2}-\\sqrt[22]{423cd^2}$\n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "22ba65c2-d1f8-4135-81dd-e05c9d99d450", "metadata": {}, "source": [ "Nun stellen wir uns die Frage nach der Struktur von formelinduzierten Körpertürmen. Wir erhoffen uns dadurch, Bedingungen für die Existenz von Lösungsformeln zu finden." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "292dbc42-8bfc-4075-aaab-429aac7f4a9b", "metadata": {}, "source": [ "Wenn Sie sich das Verfahren zur Konstruktion eines formelinduzierten Körperturms anhand einer Formel genauer ansehen, so fällt auf, dass die einzelnen Schritte stets aus einfachen Körpererweiterungen bestehen. Denn wenn wir im zugehörigen Formeldiagramm einen Knoten höher laufen, sagen wir von $a$ nach $\\sqrt[n]{a}$, dann adjungieren wir stets genau ein Element an den Körper, um die Körpererweiterung zu erhalten. Sind wir also beim Knoten $a$ im Körper $K$, so laufen wir durch die Berechnung von $\\sqrt[n]{a}$ in den Körper $K(\\sqrt[n]{a})$. Die Fälle $+,-,\\cdot,\\div$ liefern triviale (und damit insbesondere einfache) Körpererweiterungen und müssen daher nicht weiter beachtet werden.
\n", "Als Konsequenz erhalten wir:\n", " Formelinduzierte Körpertürme sind auflösbar." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "b6180028-997d-4f89-b210-fac9d2458fc8", "metadata": {}, "source": [ "***" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "83a25aae-28b7-46e0-8163-4954e68d5f7f", "metadata": {}, "source": [ "## Die Galoisgruppe" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "0af5d70b-7fc7-4541-badc-031d67e3abd6", "metadata": {}, "source": [ "Nun kommen wir zu dem eigentlichen Teil des Notebooks - der Galoistheorie. Die Galoistheorie erlaubt die Analyse von Körpererweiterungen mittels Gruppentheorie. Gruppen treten nämlich auf natürliche Art und Weise auf, wenn man die Homomorphismen einer Körpererweiterung betrachtet. Um zu verstehen welche Homomorphismen das sind, müssen wir uns klar machen, welche algebraische Struktur hinter Körpererweiterungen steckt." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "a6a3acf6-821a-45a1-af22-201e432fdf3e", "metadata": {}, "source": [ "
\n", " \n", "### Definition - Algebra\n", "***\n", "Sei $(L,+,\\cdot)$ ein $K$-Vektorraum und $\\circ:L\\times L \\to L$ eine kommutative Abbildung, d.h. $a\\circ b=b\\circ a$. Dann bezeichnet man $(L,+,\\cdot,\\circ)$ als $K$-Algebra, falls\n", "- $(L,+,\\circ)$ ein Ring ist und\n", "- $\\forall k \\in K, a,b \\in L: \\ (k\\cdot a) \\circ b = k \\cdot (a\\circ b) = a\\circ (k \\cdot b)$.\n", " \n", "Für zwei $K$-Algebren $(A,+_A,\\cdot_A,\\circ_A),(B,+_B,\\cdot_B,\\circ_B)$ bezeichet man $\\varphi: A \\to B$ als $K$-Algebrenhomomorphismus, falls $\\varphi$ ein linearer Ringhomomorphismus von $(A,+_A,\\circ_A)$ nach $(B,+_B,\\circ_B)$ ist. Entsprechend sind Algebramono-, -epi-, -iso-, -endo- und -automorphismen definiert.\n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "a6825e23-23ae-4b34-a76d-6ed4ede32832", "metadata": {}, "source": [ "Selbst wenn der Begriff \"Algebra\" für Sie neu ist, so sind Sie doch gewohnt im Umgang mit ihnen, wie Ihnen die folgenden, geläufigen Beispiele aufzeigen sollten. Sie brauchen also keine Angst vor Algebren zu haben.\n", "\n", "- Der Polynomring $K[X]$ ist mit der punktweisen Addition $+$, der Polynommultiplikation $\\circ$ und der Skalarmultiplikation $\\cdot$ eine $K$-Algebra\n", "- Die Matrizen $K^{n\\times n}$ bilden mit der punktweisen Addition $+$, der Matrizenmultiplikation $\\circ$ und der Skalarmultiplikation $\\cdot$ eine $K$-Algebra.\n", "- $\\mathbb{C}$ ist mit der gewöhnlichen Addition $+$ und der gewöhnlichen Multiplikation $\\circ$ bzw. $\\cdot$ eine $\\mathbb{R}$-Algebra. Dabei ist zu beachten, dass \"$\\cdot$\" zwar die gewöhnliche Multiplikation auf $\\mathbb{C}$ meint, allerdings schränkt \"$\\cdot$\" den Definitionsbereich auf $\\mathbb{R}\\times\\mathbb{C}$ ein." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "39e9d120-0e8f-4557-a372-ab51ce833dc9", "metadata": {}, "source": [ "
\n", " \n", "### 3. Aufgabe\n", "***\n", "Sei $L\\big/K$ eine Körpererweiterung. Zeigen Sie, dass $L$ dann eine $K$-Algebra ist.\n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "c7c96262-e621-45c6-816a-430168346f65", "metadata": {}, "source": [ "\n", "
\n", " \n", "### Definition - Galoisgruppe\n", "***\n", " \n", "Sei $L\\big/K$ eine Körpererweiterung, dann bezeichnen wir die Menge $$Gal(L\\big/K):=\\{\\varphi:L\\to L| \\varphi \\text{ ist } K\\text{-Algebrenisomorphismus}\\}$$ als die Galoisgruppe von $L\\big/K$.\n", " \n", "Wir betrachten also gerade die linearen Körperautomorphismen auf $L$. Das erklärt sich dadurch, dass wir sowohl die Vektorraum-, als auch die Körperstrukturen auf $L\\big/K$ respektieren wollen.\n", " \n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "12dd5ea1-91d9-47c6-990c-5ab4aa443219", "metadata": {}, "source": [ "
\n", " \n", "### 4. Aufgabe\n", "***\n", "Sie stellen sich vielleicht die Frage, warum wir zusätzlich fordern, dass die Abbildungen Isomorphismen sind. Man kann diese Forderung in unserem Fall tatsächlich weglassen.
\n", "Sei $L\\big/K$ eine endliche Körpererweiterung. Zeigen Sie:\n", "- Körperhomomorphismen sind injektiv\n", "- $K$-lineare Körperendomorphismen auf $L$ sind surjektiv\n", "***\n", "Dass Isomorphismen vorliegen ist außerdem unerlässlich, wenn wir wollen, dass die Galoisgruppe auch wirklich eine Gruppe ist.\n", " \n", "Zeigen Sie, dass die Galoisgruppe zusammen mit der Komposition eine Gruppe bildet.\n", "\n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "bd627c6d-dd8c-403c-8311-02152bd9d582", "metadata": {}, "source": [ "
\n", " \n", "Denkanstoß: Tatsächlich braucht man die Endlichkeit von $L\\big/K$ gar nicht, um zu zeigen, dass $K$-lineare Körperendomorphismen auf $L$ surjektiv sind. Die Behauptung gilt bereits dann, wenn $L\\big/K$ algebraisch ist. Können Sie die Behauptung auch zeigen, wenn Sie nur diese schwächere Voraussetzung zu Grunde legen?\n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "61eaa7f5-02f2-4620-b783-a9bb60d8a262", "metadata": {}, "source": [ "Wir können also nun zu einer Körpererweiterung eine Gruppe konstruieren. Der nächste Schritt ist es, diese Gruppen besser zu verstehen. Dazu erinnern wir uns an die Lineare Algebra und insbesondere Minimalpolynome. Genauso, wie wir dort Minimalpolynome für Vektorraumendomorphismen definiert haben, kann man Minimalpolynome für Elemente aus Körpererweiterungen definieren." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "59b4c815-69fa-4dc4-b803-b5aee7e1cbc2", "metadata": {}, "source": [ "## Das Minimalpolynom in der Körpertheorie\n", "***\n", "Sei $L\\big/K$ eine algebraische Körpererweiterung, dann gibt es nach Voraussetzung zu $\\alpha \\in L $ ein Polynom $p_\\alpha \\in K[x]$, sodass $p(\\alpha)=0$ ist.\n", "
Definiere zu diesem $\\alpha \\in L$ den Einsetzungshomomorphismus $\\epsilon_\\alpha:K[x] \\to L$. Wie Sie leicht nachrrechnen können, ist $\\epsilon_\\alpha$ ein Ringhomomorphismus, wobei die Multiplikation auf $K[x]$ die gewöhnliche Polynommultiplikation sei. Folglich ist $ker(\\epsilon_\\alpha)$ ein Ideal in $K[x]$.\n", "\n", "Der Ring $K[x]$ hat nun die Eigenschaft, dass er ein Hauptidealring ist, das heißt für alle Ideale $I \\unlhd K[x]$ existiert ein $r \\in K[x]$ mit $(r):=K[x]\\cdot r = \\{p\\cdot r| p\\in K[x] \\}$. Insbeondere gilt $ker(\\epsilon_\\alpha) = (\\mu_\\alpha)$ für ein $\\mu_\\alpha\\in K[x]$. Normierung macht dieses $\\mu_\\alpha$ eindeutig.\n", "
\n", "Für jedes $\\alpha \\in L$ existiert also genau ein normiertes $\\mu_\\alpha\\in K[x]$, dass den Kern von $\\epsilon_\\alpha$ erzeugt. Dieses Polynom nennen wir Minimalpolynom von $\\alpha$.\n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "a5f98f0c-ef18-4c3a-b717-3983fd8ded6c", "metadata": {}, "source": [ "Falls Sie die Existenz und Eindeutigkeit von $\\mu_\\alpha$ interessiert, empfehle ich Ihnen zum Thema euklidische Ringe und Hauptidealringe zu recherchieren. In $K[x]$ steht uns die Polynomdivision zur Verfügung. Damit kann man insbesondere immer einen $ggT$ ausrechnen. Das vereinfacht den Umgang mit Idealen so erheblich, dass die Ideale tatsächlich alle die Form $(p),\\ p\\in K[x]$ haben müssen. Darauf möchten wir hier aber nicht weiter eingehen.
\n", "Was wir hingegen nicht unterschlagen wollen, ist der Bezug zur LA II." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "49fcc90e-6d15-4326-8c91-093622deac91", "metadata": {}, "source": [ "Das Minimalpolynom, was Sie aus der LA II kennen, hängt tatsächlich sehr eng mit dem Minimalpolynom zusammen, das wir gerade definiert haben. Zu unserem Element $\\alpha \\in L$ lässt sich nämlich ein Vektorraumendomorphismus $\\rho(\\alpha)$ assoziieren, der einfach durch die Körpermultiplikation in $L$ gegeben ist: $\\rho(\\alpha):L\\to L, x\\mapsto \\alpha\\cdot x$. Das Minimalpolynom von $\\rho(\\alpha)$ im Sinne der LA II ist gerade das Minimalpolynom $\\mu_\\alpha$ von $\\alpha$ im Sinne der Körpertheorie. Auf einen Beweis dieser Aussage verzichten wir allerdings an dieser Stelle." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "8d73accf-072e-4374-81e7-ced52b19b706", "metadata": {}, "source": [ "Warum aber widmen wir uns jetzt dieser komplizierten Definition? Wir haben uns doch gerade noch mit der Galoisgruppe beschäftigt.
\n", "Der Zugang über das Minimalpolynom ermöglich uns einen deutlich tieferen Einblick in die Struktur von Galoisgruppen. Betrachten wir dazu einmal das Bild von $\\alpha$ unter $\\varphi \\in Gal(L\\big/K)$.
\n", "Wir wissen: \n", "- $\\mu_\\alpha(\\alpha)=0$ wegen $\\mu_\\alpha \\in ker(\\epsilon_\\alpha)$\n", "- $\\varphi(p(\\beta))=p(\\varphi(\\beta)) \\ \\forall \\beta \\in L, p\\in K[x]$, da $\\varphi$ ein Algebrahomomorphismus ist.\n", "\n", "Insbesondere $0=\\varphi(0)=\\varphi(\\mu_\\alpha(\\alpha))=\\mu_\\alpha(\\varphi(\\alpha))$. Machen Sie sich all diese Aussagen klar!" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "5ab8a72b-0c0f-498f-8bca-b4bdad9df4cc", "metadata": {}, "source": [ "Das heißt dann also, dass Nullstellen von $\\mu_\\alpha$ auf Nullstellen von $\\mu_\\alpha$ abgebildet werden müssen!" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "b8fe6840-2e38-493c-9702-3ad5b8974ca0", "metadata": {}, "source": [ "
\n", " \n", "Denkanstoß: (Freiwillig) Überlegen Sie sich, dass $v \\in K(\\alpha)$ als $K$-Linearkombination aus (ggfs. negativen) Potenzen von $\\alpha$ geschrieben werden kann. Rechnen Sie dazu nach, dass die Menge $\\{p(\\alpha) + q(\\alpha^{-1})|p,q\\in K[x]\\}$ einen Körper bildet und nutzen Sie dann, dass $K(\\alpha)$ der kleinste Körper ist, der $\\alpha$ enthält.\n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "6790c433-9226-4e79-b42e-f69a8086e7f5", "metadata": {}, "source": [ "Nach der Überlegung aus dem Denkanstoß gilt für $v\\in L: \\ \\varphi(v)=\\varphi(p(\\alpha) + q(\\alpha^{-1}))$ für gewisse $p,q\\in K[x]$ und demnach $\\varphi(v)=p(\\varphi(\\alpha))+q(\\varphi(\\alpha)^{-1})$. Insbesondere ist $\\varphi$ vollständig über das Bild $\\varphi(\\alpha)$ von $\\alpha$ festgelegt.
\n", "Wir können im Allgemeinen nicht garantieren, dass für eine weitere Nullstelle $\\beta$ von $\\mu_\\alpha$ ein $\\varphi\\in Gal(L/K)$ mit $\\varphi(\\alpha)=\\beta$ existiert (insbesondere deswegen nicht, weil wir gar nicht wissen, ob die Nullstelle $\\beta$ überhaupt in $L$ liegt). Was wir aber folgern können ist, dass es höchstens so viele $\\varphi \\in Gal(L\\big/K)$ gibt, wie Nullstellen von $\\mu_\\alpha$, das heißt: $|Gal(L\\big/K)|\\leq deg(\\mu_\\alpha)$." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "aa0cc92e-d1e1-4a4f-a33c-7d0fca48037b", "metadata": {}, "source": [ "Außerdem können wir folgern, dass sich die Galoisgruppe in eine $S_n$ einbetten lässt, denn es handelt sich bei den Elementen der Galoisgruppe ja um eine Permutation von Nullstellen und damit um eine Permutation auf der Nullstellenmenge von $\\mu_\\alpha$. Eine Galoisgruppe ist also immer eine Unterguppe einer $S_n$. Wir können das $n$ sogar spezifizieren: $n=|NST(\\mu_\\alpha)|$. Im Allgemeinen muss das nicht der Grad des Polynoms sein, da Nullstellen doppelt auftreten können." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "efa48d00-f7be-4ece-973e-9a52d56fe709", "metadata": {}, "source": [ "***" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "091ba24c-75c3-43df-a3c3-33106bffa4b6", "metadata": {}, "source": [ "Wir können uns nun leider nicht die ganzen Sätze, die wir für unseren Satz von Abel-Ruffini brauchen, selber überlegen. Das würde schlichtweg den Rahmen des Notebooks sprengen. Die obigen Überlegungen sollten Ihnen aber schon einen ersten Eindruck der Argumentationsweise in diesem Gebiet der Mathematik verschaffen. Um unseren Weg zum Satz von Abel-Ruffini abzuschließen, zitieren wir nun einen wichtigen Satz aus der Galoistheorie." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "48d94e20-e21f-45e8-a719-b4e32a7fcf63", "metadata": {}, "source": [ "## Hauptsatz der Galoistheorie" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "9d90044c-bf9e-4e16-9c25-cc7e8c929ae3", "metadata": {}, "source": [ "
\n", "Der Hauptsatz der Galoistheorie besagt, dass $Gal(L\\big/\\_): \\left\\{ M | \\ K\\subseteq M \\subseteq L \\text{ ist Körperturm} \\right\\} \\to \\left\\{ U | U \\subseteq Gal(L\\big/K) \\text{ Untergruppe}\\right\\}$ bijektiv und ordnungsumkehrend ist (und einiges mehr, was hier unterschlagen wird).
\n", "Mit \"ordnungsumkehrend\" ist gemeint, dass für $M\\subseteq N$ die Beziehung $Gal(L\\big/N)\\subseteq Gal(L\\big/M)$ gilt.\n", " \n", "
\n", "Wir können also den Untergruppen der Galosigruppe eindeutig sogenannte Zwischenkörper zuordnen und umgekehrt. Diese Korrespondenz von Gruppen zu Körpern wird als Galoiskorrespondenz bezeichnet." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "62b495fb-7de4-4c2b-aa69-2b8e1427edbc", "metadata": {}, "source": [ "Nun kommen alle bisher gelernten Aspekte zusammen: Aus unserem formelinduzierten Körperturm $F_1 \\subseteq ... \\subseteq F_n$, erhalten wir via Galoiskorrespondenz einen \"Gruppenturm\" $G_1 \\supseteq ... \\supseteq G_n$. Wir wissen außerdem, dass $F_k\\big/F_{k-1}(\\alpha)$ eine einfache Körpererweiterung mit einem primitven Radikalelement $\\alpha \\in F_k$ ist, dass der Körperturm $KT$ also auflösbar ist. Diese Eigenschaft überträgt sich auf den \"Gruppenturm\" $GT$... Aber was heißt das überhaupt?" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "535dc0e9-d58d-457d-be65-44d662ca6a17", "metadata": {}, "source": [ "***\n", "## Auflösbare Gruppen" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "0c3f9bed-ed24-46de-8ccf-c66e7fbfdd81", "metadata": {}, "source": [ "
\n", " \n", "### Rückblick-Aufgabe\n", "***\n", "Des Umfangs wegen können wir die gruppentheoretischen Aspekte, die für den Satz von Abel-Ruffini notwendig sind, leider nicht in Gänze abdecken. Die weitere Argumentation für den Satz von Abel-Ruffini verläuft aber wie folgt:
\n", "Die $S_5$ ist nicht auflösbar und folglich auch nicht $Gal(L\\big/K)\\subseteq S_5$. Gäbe es aber eine Lösungsformel für Polynome fünften Grades, dann liefert diese uns einen Körperturm, der uns wiederum einen Gruppenturm und damit eine Auflösung von $Gal(L\\big/K)$ liefert, im Widerspruch zur Nicht-Auflösbarkeit von $Gal(L\\big/K)$. Also kann keine solche Formel existieren.\n", " \n", "Ihre Aufgabe ist nun sich einen Teil der weiteren Argumentation zu erarbeiten - und Sie dürfen sich aussuchen welchen.\n", "\n", "Pflichtteil: Recherchieren Sie die Definition von Auflösbarkeit für Gruppen.\n", " \n", "Wahlpflichtteil: Recherchieren Sie zu einem der folgenden Themen:\n", "- Galoiskorrespondenz (Finden Sie mehr heraus als in diesem Notebook angerissen wurde)\n", "- Jordan-Hölder-Theorem (Bonus: Wie findet er Anwendung im Satz von Abel-Ruffini)\n", "- Warum ist die $S_5$ nicht auflösbar?\n", "- Wie hängt Auflösbarkeit von Gruppen mit Auflösbarkeit von Körpertürmen zusammen?\n", " \n", "Sie dürfen sich auch frei ein ganz anderes Thema aussuchen, das nicht auf dieser Liste steht. Hauptsache es gibt einen Bezug zur Galoistheorie.\n", " \n", "Ich hoffe Sie fanden es nicht ernüchternd, dass dieses Notebook nicht die gesamte Argumentation für Abel-Ruffini offenbart hat, sondern vielmehr motivierend für weitere Überlegungen ist. Viel Erfolg!\n", " \n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "e3e1a074-00db-443c-91ad-f1279bbae3e6", "metadata": {}, "source": [ "### Literaturverzeichnis\n", "- Satz von Abel-Ruffini (2023). In Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. https://de.wikipedia.org\n", "- Niels Heinrik Abel (2023). In Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. https://de.wikipedia.org\n", "- Évariste Galois (2023). In Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. https://de.wikipedia.org\n" ] } ], "metadata": { "kernelspec": { "display_name": "Python 3 (ipykernel)", "language": "python", "name": "python3" }, "language_info": { "codemirror_mode": { "name": "ipython", "version": 3 }, "file_extension": ".py", "mimetype": "text/x-python", "name": "python", "nbconvert_exporter": "python", "pygments_lexer": "ipython3", "version": "3.9.7" } }, "nbformat": 4, "nbformat_minor": 5 }