{ "cells": [ { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "# Eine Konstruktion der rationalen Zahlen" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "
\n", "Ziel des Notebooks:\n", " \n", "- Mengenlehre \n", " - Grundaxiome von ZFC (Zermelo-Fraenkel-Axiomensystem mit dem Auswahlaxiom) kennenlernen\n", " - skizzenhaft die Konstruktion der natürlichen Zahlen aus der Mengenlehre verstehen\n", "- Algebra\n", " - explizite Konstruktion der ganzen Zahlen aus den natürlichen Zahlen (Grothendieck-Gruppen) \n", " - explizite Konstruktion der rationalen Zahlen aus den ganzen Zahlen (Quotientenkörper) \n", "- Transfer\n", " - Erweiterungen im algebraischen Sinn verstehen\n", " - ein tieferes Verständnis für „Gleichheit bis auf Isomorphie“ entwickeln\n", "
\n", " \n", "Mathematische Tools:\n", " \n", "- Grothendieck-Gruppen\n", "- Quotientenkörper \n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": { "tags": [] }, "source": [ "## Einführung" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "In der Einführung werde ich Ihnen zunächst die Konstruktion der natürlichen Zahlen aus der Mengenlehre skizzieren. In den nachfolgenden Unterabschnitten zur Mengenlehre wird die standardmäßige Addition auf den natürlichen Zahlen formal definiert. Die Einführung endet mit einer kurzen Erläuterung des Konzeptes einer Erweiterung im algebraischen Sinn. Dieses Konzept wird durch das ganze Blatt hinweg wieder und wieder aufgegriffen." ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "Auf die Einführung folgen die zwei Hauptabschnitte dieses Blattes. Der erste Abschnitt wird Sie von den natürlichen Zahlen als kommutative Halbgruppe zur Konstruktion der ganzen Zahlen als additive Gruppe führen, wobei Ihnen das Konzept einer Grothendieck-Gruppe behilflich sein wird. Daher wird zunächst das Thema Grothendieck-Gruppen in aller Allgemeinheit behandelt und wichtige Eigenschaften festgehalten, ehe wir unser Leitbeispiel aufgreifen und die Grothendieck-Gruppe der additiven natürlichen Halbgruppe bilden werden." ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "Im zweiten und letzten Abchnitt werden Sie lernen, welche Ringe man zu Körpern erweitern kann und eine konkrete Konstruktionsvorschrift dafür kennenlernen: Quotientenkörper. Nachdem wir also auf natürliche Weise die additive Gruppe der ganzen Zahlen zu einem Ring erweitert haben, werden wir den Quotientenkörper des Rings der ganzen Zahlen bilden. Das klingt erstmal nach einem großen neuen Begriff, doch wir werden feststellen, dass die Konstruktion von Quotientenkörpern und die Konstruktion von Grothendieck-Gruppen fast identisch sind. " ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "Noch eine Warnung, ehe Sie sich vor der Länge des Blattes erschrecken: Die Themen der Einführung werden bis auf den Abschnitt „Erweiterungen im algebraischen Sinn“ nicht wieder aufgegriffen. Die Abschnitte zur mengentheoretischen Konstruktion der natürlichen Zahlen dienen vor allem dazu, Neugierde bei Ihnen zu wecken und Ausgangspunkte für weitere Recherche zu bieten, falls Sie sich an bestimmten Stellen näher einlesen wollen. Klicken Sie sich gerne durch die entsprechenden Artikel auf Wikipedia oder sonst wie durchs Internet durch! Im Literaturverzeichnis finden Sie eine Doktorarbeit, der sich weitaus detaillierter und rigoroser mit der Konstruktion der natürlichen Zahlen befasst. Haben Sie Fragen oder Lust, mehr in die Tiefe zu gehen, beziehen Sie sich gerne auf die Doktorarbeit als Referenz.\n", "\n", "In dem Sinne wünsche ich Ihnen viel Spaß mit diesem Blatt!" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": { "tags": [] }, "source": [ "### Historische Einführung in die Mengenlehre" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "Der fundamentalste Grundbaustein der Mathematik ist der Begriff der Menge. Funktionen, Relationen, Zahlenbereiche, alle möglichen Definitionen aus Ihrem Studium nutzen den Begriff der Menge. Eine Formalisierung dessen, was eine Menge ausmacht, ist schwierig. Versuchen Sie es selber einmal. Sie kommen vermutlich auf „wischi-waschi“ Formulierungen, aber eine klare Präzisierung fällt Ihnen gewiss schwer. Machen Sie sich keine Sorgen, den großen Mathematikern unserer Zeitgeschichte ging es auch so. Und wie sich der von Cantor geprägt Mengenbegriff durchsetzte, entstanden Probleme und Widersprüche in ihrer Anwendung. Ein bekanntes populärmathematisches Beispiel dafür ist die Russelsche Antinomie. Man definierte sich die „Menge aller Mengen, die sich nicht selbst als Element enthalten“ und stellte fest, dass man für eine gegebene Menge (in der damaligen Definition) nicht entscheiden konnte, ob sie nun in dieser großen „Menge“ enthalten war oder nicht. Lesen Sie gerne selber nach, wie das Paradoxon zustandekommt, oder überlegen Sie es sich selbst. Auf jeden Fall gab es viele solcher logischen Zwickmühlen, scheinbar unlösbarer Natur, auf die auch Cantor stieß, wie etwa die Erste und Zweite Cantorsche Antinomie. \n", "\n", "Diese Widersprüchlichkeit des gängigen Mengenbegriffs ließ gewahr werden, dass eine strengere Definition nötig war, um solche „Grenzfälle“ auszuschließen. Die Lösung dafür: Ein (unendliches) Axiomensystem. Alles das, was den Axiomen genügt, nennt man eine Menge, alles andere nicht. Das anerkannteste Axiomensystem ist das der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre mit Auswahlaxiom (ZFC, wobei „C“ für „axiom of choice“, also das Auswahlaxiom, steht). Dieses definiert in acht prädikatenlogisch formulierbaren Axiomen und zwei prädikatenlogisch formulierbaren Schemata für Axiome, was eine Menge ist. Erfüllt eine Sammlung von bestimmten wohlunterscheidbaren Objekten (vergleiche die Definition einer Menge in der naiven Mengenlehre) eines dieser Axiome nicht, so ist diese Sammlung keine Menge nach ZFC. Solche Sammlungen, die mengenähnlich über bestimmte Eigenschaften definiert werden, aber nicht alle Axiome aus ZFC erfüllen, heißen (echte) Klassen. Beispiele hierfür sind die Russelsche Klasse (von der Russelsche Antinomie), die „Sammlung“ aller Ordinalzahlen, die „Sammlung“ aller Kardinalzahlen (die „Sammlung“ aller Mächtigkeiten, von der Ersten Cantorschen Antinomie) oder die Allklasse (die „Sammlung“ aller Mengen, von der Zweiten Cantorschen Antinomie).\n", "\n", "Wir werden im Folgenden eine mengentheoretische Konstruktion der natürlichen Zahlen vorführen, die sich nur die Axiome von ZFC zu Hilfe nimmt." ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": { "tags": [] }, "source": [ "### Von Neumanns Modell der natürlichen Zahlen (mit 0)" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "Eine kleine Vorwarnung: In diesem Abschnitt werden wir grob mit der Mengenlehre umgehen, da dieser Abschnitt zur Mengenlehre lediglich zum Ziel hat: Neugierde wecken und einen Einblick in die mengentheoretische Konstruktion der natürlichen Zahlen liefern." ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "Wir brauchen vier ZFC-Axiome, um die natürlichen Zahlen konstruieren zu können. Das erste davon ist das" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "
\n", " Leermengenaxiom (ZFC):\n", " Es gibt eine Menge, die keine Elemente enthält. Prädikatenlogische Formulierung: Es gibt eine Menge $\\mathcal{M}$, für die\n", " $$ \\neg \\exists X \\in \\mathcal{M} $$\n", " gilt. Wir nennen diese Menge die leere Menge und bezeichnen sie mit $\\emptyset$.\n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "Das Wissen um die leere Menge ist relevant für die Formulierung des nächsten Axioms. Da wir hierfür auch den Begriff des Nachfolgers verwenden wollen, führen wir diesen vorab ein in nachfolgender " ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "
\n", " Definition:\n", " Wir nennen für eine Menge $A$ die Menge \n", " $$NF(A):= \\{ \\emptyset, \\{ A \\} \\}$$\n", "den (eindeutigen) Nachfolger von $A$ und eine Menge $B$ einen eventuellen Nachfolger von $A$, wenn $B$ in endlich vielen „Nachfolgerschritten“ von $A$ aus „erreichbar“ ist.\n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "
\n", " Unendlichkeitsaxiom (ZFC):\n", " Es gibt eine Menge, die $\\emptyset$ enthält und sodass für jedes Element der Menge gilt, dass auch sein Nachfolger in der Menge enthalten ist. Prädikatenlogische Formulierung: Es gibt eine Menge $\\mathcal{M}$, für die \n", " $$\\emptyset \\in \\mathcal{M} \\land \\left( \\forall X \\in \\mathcal{M} \\Rightarrow NF(X) \\in \\mathcal{M} \\right) \\text{ }(\\ast)$$\n", " gilt. \n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "Nun kommen wir zum kniffligsten der vier für unsere Zwecke relevanten Axiome, welches wir etwas salopp formulieren." ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "
\n", " Aussonderungsaxiom (ZFC):\n", " Entfernen wir aus einer Menge manche ihrer Elemente, so bleibt diese eine Menge. Anders formuliert: Eine Menge bleibt nach Aussonderung gewisser Elemente Menge.\n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "Aus dem Aussonderungsaxiom folgt insbesondere, dass es zu einer beliebigen Sammlung von Mengen (mindestens) eine Menge gibt, die genau aus den gemeinsamen Elementen der Mengensammlung besteht. Dass jene Menge gemeinsamer Elemente eindeutig bestimmt ist, liefert uns das" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "
\n", " Extensionalitätsaxiom (ZFC):\n", " Zwei Mengen sind genau dann gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten. Prädikatenlogisch formuliert: Für je zwei Mengen $A$ und $B$ gilt $A=B$ genau dann, wenn\n", " $$ (\\forall X \\in A \\Rightarrow X \\in B) \\land (\\forall X \\in B \\Rightarrow X \\in A)$$ \n", " gilt.\n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "Mit den letzten beiden Axiome ist also der Schnitt von Mengen wohldefiniert. Damit können wir schon die natürlichen Zahlen definieren." ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "
\n", " Definition:\n", " Der Schnitt von Mengen ist nach dem Aussonderungsaxiom und dem Extensionalitätsaxiom wohldefiniert und ergibt wieder eine Menge, der Schnitt von Menge ist also wohldefiniert. Nach dem Unendlichkeitsaxiom existiert eine Menge, die die Eigenschaft $\\ast$ erfüllt. Somit ist der Schnitt über alle Mengen, die die Eigenschaft $\\ast$ aus dem Unendlichkeitsaxiom erfüllen, nicht-leer und eine Menge. Wir definieren diesen Schnitt als die Menge der natürlichen Zahlen. Diese Menge bezeichnen wir mit $\\mathcal{N}$. Sie hat die Form \n", " $$\\{ \\emptyset, \\{ \\emptyset \\}, \\{ \\emptyset, \\{ \\emptyset \\} \\}, \\{ \\emptyset, \\{ \\emptyset \\}, \\{ \\emptyset, \\{ \\emptyset \\} \\} \\}, ... \\}.$$\n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": { "tags": [] }, "source": [ "### Die Addition auf von Neumanns Modell der natürlichen Zahlen (mit 0)" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "Sei $f$ eine Funktion von $\\mathcal{N} \\times \\mathcal{N}$ nach $\\mathcal{N}$. Wir sagen, $f$ genügt dem ersten Additionsaxiom, wenn \n", "$$ f(A,\\emptyset) = A$$\n", "für alle $A \\in \\mathcal{N}$ gilt. Weiter sagen wir, $f$ genügt dem zweiten Additionsaxiom, wenn \n", "$$ f(A, NF(B)):= NF(A+B)$$\n", "für alle $A,B \\in \\mathcal{N}$ gilt. Der Dedekindsche Rekursionssatz besagt, dass genau eine Funktion\n", "$$ +: \\mathcal{N} \\times \\mathcal{N} \\rightarrow \\mathcal{N}$$\n", "existiert, die diesen beiden Axiomen genügt. Man kann zeigen, dass aus dem ersten und zweiten Additionsaxiom folgt\n", "- $ +( +(A,B),C) = +(A, +(B,C))$ für alle $A,B,C \\in \\mathcal{N}$ (Assoziativität von $ +$)\n", "- $ +(A,B) = +(B,A)$ für alle $A,B \\in \\mathcal{N}$ (Kommutativität von $ +$)\n", "- $ + (\\{ \\emptyset \\},A) = NF(A)$ für alle $A \\in \\mathcal{N}$ \n", "\n", "Statt $ +(A,B)$ für die Summe von zwei Elementen $A$ und $B$ aus $\\mathcal{N}$ zu schreiben, wird konventionell die Infix-Notation $ A + B$ mit geeigneter Klammerung verwendet." ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "
\n", "Denkanstoß:\n", "Notieren Sie die Assoziativität und Kommutativität von $ +$ mit der Infix-Notation.\n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "Die Menge $\\mathcal{N}$ bildet also zusammen mit der obigen Addition $+: \\mathcal{N} \\times \\mathcal{N} \\rightarrow \\mathcal{N}$ eine kommutative Halbgruppe mit neutralem Element $\\emptyset$. " ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": { "tags": [] }, "source": [ "### Umbenennung der Elemente von $\\mathcal{N}$" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "Wir nennen eine zweistellige Eigenschaft $E$, deren Gültigkeit allein von zwei Variablen $x$ und $y$ abhängt, funktional, falls es für jede Wahl für $x$ genau ein $y$ gibt, sodass $E(x,y)$ gilt. Es folgt das letzte ZFC-Axiom dieses Abschnittes: " ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "
\n", " Ersetzungsschema:\n", " Zu jeder funktionalen Eigenschaft $E$ und jeder Menge $\\mathcal{M}$ existiert eine Menge $\\mathcal{M}'$, die genau diejenigen $y$ als Elemente enthält, für die ein $x$ existiert mit $E(x,y)$.\n", "
\n", "\n", "\n" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "Damit können wir die Elemente von $\\mathcal{N}$ durch $0:=\\emptyset$, $1:= \\{ \\emptyset \\}$, $2:= \\{ \\emptyset, \\{ \\emptyset \\} \\}$,... umbenennen. Die so definierte Menge $\\mathcal{N}'$ nennen wir die Menge der natürlichen Zahlen mit Null und bezeichnen wir mit $\\mathscr{N}_0$. Die Summe zweier Elemente $y, y'$ aus $\\mathbb{N}$ wird als die Umbenennung der Summe der zugehörigen Elemente $x$, $x'$ aus $\\mathscr{N}$ definiert. $\\mathbb{N}:=\\mathbb{N}_0 \\backslash \\{ 0 \\}$ bezeichnen wir als die Menge der natürlichen Zahlen." ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "#### Die Multiplikation auf den natürlichen Zahlen (mit 0)" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ " Man kann ähnlich wie im Abschnitt „Die Addition auf von Neumanns Modell der natürlichen Zahlen“ vorgehen, um die Existenz und Eindeutigkeit einer Multiplikation mit gewünschten axiomatisch festgelegten Eigenschaften auf $\\mathscr{N}$ zu definieren. Wird diese Multiplikation auf die Symbolmenge $\\mathbb{N}$ übertragen, so stimmt diese mit der Ihnen bekannten Multiplikation überein. Falls Sie sich näher dafür interessieren, empfehle ich Ihnen die Lektüre des ersten Kapitels der Diplomarbeit aus den Literaturangaben." ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "#### Stellenwertsysteme\n", "Man kann sich fragen, warum wir die natürlichen Zahlen gerade mit der Symbolmenge $S:=\\{0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,... \\}$ „umbenennen“ können, warum also jede natürliche Zahl $n$ aus der vorangegangen mengentheoretischen Konstruktion eine eindeutige Darstellung im Stellenwertsystem zur Basis 10 besitzt. Doch diese wirft nur mehr Fragen auf! Was ist überhaupt diese Symbolmenge $S$? Wie wird sie in „...“ fortgesetzt? Kann man man sie formal definieren? Was genau ist ein Stellenwertsystem zu einer gegebenen Basis? Welche anderen Basen gibt es und in welchen Anwendungen sind bestimmte andere Basen nützlich? Wenn diese Fragen Sie auch interessieren, empfehle ich Ihnen die Lektüre des Wikipedia-Artikels zu Stellenwertsystemen (Link: https://de.wikipedia.org/wiki/Stellenwertsystem).\n", "\n", "Wenn Sie diese Begriffe verstanden haben, wird erst der nachfolgende mathematische Satz verständlich. Dieser Satz, der die Frage der Umbennung der natürlichen Zahlen beantwortet, entstammt der elementaren Zahlentheorie und heißt „Basis Representation Theorem“. Er besagt, dass wir für jede natürliche Zahl $b > 1$ (das heißt, für jeden eventuellen Nachfolger $b$ von $1:=\\emptyset$) zu jeder natürlichen Zahl $n$ (das heißt, zu jedem Element $n$ aus $\\mathscr{N}$) eine eindeutige Darstellung zur Basis $b$ finden. Einen Beweis dazu finden Sie etwa hier: https://proofwiki.org/wiki/Basis_Representation_Theorem. \n", "\n", "Doch nun ist Schluss mit Mengenlehre. Sie haben ja zur Genüge die natürlichen Zahlen als mengentheoretische Konstrukt kennengelernt und können jetzt getrost mit der Menge der natürlichen Zahlen zusammen mit der Addition in gewohnter Weise hantieren. Wir kommen zum letzten Abschnitt der Einführung, in dem ich Ihnen das Konzept einer Erweiterung im algebraischen Sinn nahelegen will." ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": { "tags": [] }, "source": [ "### Erweiterungen im algebraischen Sinn" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "Die Menge $A$ sei zusammen mit bestimmten Verknüpfungen eine bestimmte algebraische Struktur (Gruppe, Ring, Körper, Modul, Vektorraum, Algebra,...). Sei $B$ eine weitere Menge mit „mindestens so viel Struktur wie $A$“. Ein Beispiel dieser Situation wäre eine Gruppe $(A,\\ast)$ und ein Ring $(B,+,\\cdot)$, denn jeder Ring ist bezüglich ihrer Addition eine (sogar abelsche) Gruppe. Nun nennen wir die Struktur $B$ eine Erweiterung im algebraischen Sinn der Struktur $A$, wenn es eine injektive, strukturerhaltende Abbildung von $A$ nach $B$ gibt. Für unser Beispiel $(A,\\ast)$ Gruppe, $(B,+,\\cdot)$ Ring hieße das etwa: Es existiert eine injektive Abbildung $\\phi: A \\rightarrow B$, sodass $\\phi(a \\ast a') = \\phi(a) + \\phi(a')$ für alle $a, a' \\in A$ gilt. Weitere Beispiele für Erweiterungen im algebraischen Sinn sind die additive Gruppe der ganzen Zahlen als Erweiterung der natürlichen additiven Halbgruppe und der Körper der rationalen Zahlen als Erweiterung des Rings der ganzen Zahlen." ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": { "tags": [] }, "source": [ "## Aus Halbgruppen Gruppen konstruieren: Die Grothendieck-Gruppe" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": { "tags": [] }, "source": [ "### Einführung in Grothendieck-Gruppen" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "Das Ziel dieses Abschnittes ist es, die additive Gruppe der ganzen Zahlen zu konstruieren als die Grothendieck-Gruppe der kommutativen Halbgrupepe $(\\mathbb{N},+)$. Dafür führe ich Grothendieck-Gruppen zunächst als allgemeines Konzept ein." ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "Sei $(H,+)$ eine kommutative Halbgruppe, das heißt $H$ ist eine nichtleere Menge mit einer assoziativen sowie kommutativen zweistelligen Verknüpfung\n", "$$ +: H \\times H \\rightarrow H. $$\n", "Wir nennen zwei Tupel $(x,y), (a,b) \\in H^2$ äquivalent bezüglich $\\sim$, falls ein $h \\in H$ existiert, sodass $x+b+h=a+y+h$ gilt. Dies notieren wir mit $(x,y) \\sim (a,b)$. Die so definierte Relation $\\sim$ ist eine Äquivalenzrelation auf $H^2$." ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "
\n", "Denkanstoß: Warum definiert ~ eine Äquivalenzrelation auf $H^2 $? Erinnerung: Äquivalenzrelationen sind reflexiv, symmmetrisch und transitiv. \n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "Bemerke: Mit der klammerlosen Notation $a+b+c$ für $a,b,c \\in H$ nutzen wir implizit die Assoziativität der Halbgruppe aus. Wäre $+$ ein nicht-assoziativer Operator, müsste bei jeder Summe von mehr als zwei Elementen aus $H$ die Summationsreihenfolge durch Klammern klargemacht werden, also etwa $(a+b)+c$ oder $a+(b+c)$." ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "
\n", " Definition:\n", " Für eine kommutative Halbgruppe $(H,+)$ ist\n", " $$\\sim:=\\left\\{ ((x,y), (a,b) ) \\in H^2 \\times H^2 \\, \\vert \\, \\exists h \\in H: \\, x+b+h = a+y+h \\right\\}$$\n", " eine Äquivalenzrelation. Wir nennen diese die Grothendiecksche Äquivalenzrelation zu $H$. Für ein Tupel $(x,y) \\in H^2$ bezeichnet $[(x,y)]$ die Äquivalenzklasse von $(x,y)$ unter $\\sim$. \n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "
\n", " Definition (Grothendieck-Gruppe):\n", " Sei $(H,+)$ eine kommutative Halbgruppe und $\\sim$ die Grothendiecksche Äquivalenzrelation zu $H$. Dann nennen wir die Menge aller Äquivalenzklassen\n", " $$G(H):= H / \\sim := \\left\\{ [(x,y)] \\, \\vert (x,y) \\in H^2 \\right\\}$$\n", " zusammen mit der Verknüpfung\n", " $$ +: G(H) \\times G(H) \\rightarrow G(H),$$\n", " $$ ( [(x,y)] , [(a,b)] ) \\mapsto [(x+a,y+b)]$$\n", " die Grothendieck-Gruppe von $H$.\n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "
\n", " \n", "### Aufgabe 1\n", "Zeigen Sie, dass Grothendieck-Gruppen abelsche Gruppen sind. Untersuchen Sie insbesondere die Wohldefiniertheit (Vertreterunabhängigkeit) der Verknüpfung.\n", " \n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "
\n", " Definition:\n", " Sei $(H,+)$ eine kommutative Halbgruppe. Definiere\n", " $$\\phi_H:= H \\rightarrow G(H), x \\mapsto [(x+x,x)],$$\n", " dann ist $\\phi_H$ ein Halbgruppenhomomorphismus, das heißt es gilt $\\phi_H(x+y) = \\phi_H(x) + \\phi_H(y)$ für alle $x,y \\in H$. (Die Halbgruppenstruktur wird also von $H$ auf $G(H)$ übertragen.) Wir nennen $\\phi_H$ den kanonischen Homomorphismus von $H$ in ihre Grothendieck-Gruppe.\n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "Im Allgemeinen ist die Grothendieck-Gruppe keine Erweiterung ihrer zugehörigen Halbgruppe im algebraischen Sinn." ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "
\n", "Denkanstoß:\n", " Ist $\\phi_H$ injektiv für jede kommutative Halbgruppe $(H,+)$? Tipp: Betrachten Sie die kommutative Halbgruppe $H=(\\mathbb{N} \\cup \\{ \\xi \\} ,\\cdot)$, wobei die gewöhnliche Multiplikation $\\cdot$ auf $\\mathbb{N}$ um $\\xi \\cdot n := n \\cdot \\xi := \\xi$ für alle $ n \\in \\mathbb{N} \\cup \\{ \\xi \\}$ ergänzt wird. Bemerkung: Die gewöhnliche Multiplikation wird im Abschnitt „Leitbeispiel: Von der additiven Gruppe der ganzen Zahlen zum Ring“ formal definiert. \n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "Es stellt sich die Frage, ob wir eine zusätzliche Bedingung an $H$ stellen können, die uns die Injektivität von $\\phi_H$ garantiert. Dazu führen wir einen neuen Begriff ein." ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "
\n", " Definition (Kürzbarkeit):\n", " Sei $(H,+)$ eine Halbgruppe. Ein Element $h$ aus $H$ heißt rechtskürzbar, falls die Implikation\n", " $$ a + h = b + h \\Rightarrow a=b$$ \n", " für alle Elemente $a$ und $b$ aus $H$ gilt. Analog heißt ein Element $h$ aus $H$ linkskürzbar, falls die Implikation\n", " $$ h + a = h + b \\Rightarrow a=b$$\n", " für alle Elemente $a$ und $b$ aus $H$ gilt. Ein Element $h$ aus $H$ heißt kürzbar, wenn $h$ links- und rechtskürzbar ist. Die Halbgruppe $(H,+)$ heißt kürzbar, wenn alle Elemente aus $H$ kürzbar sind.\n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "Für kürzbare kommutative Halbgruppen vereinfacht sich die Definition der Grothendieckschen Äquivalenzrelation wie folgt:\n", "In einer kürzbaren kommutativen Halbgruppe $(H,+)$ sind zwei Tupel $(x,y), (a,b) \\in H^2$ genau dann äquivalent bezüglich der Grothendieckschen Äquivalenzrelation, wenn $x+b=a+y$ gilt." ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "
\n", "Denkanstoß:\n", " Überlegen Sie sich, ob die Halbgruppen $(\\mathbb{N},\\max)$ und $(\\mathbb{N},\\text{min})$ kürzbar sind. Sind sie kommutativ?\n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "Es stellt sich die Schlüsselfrage: Ist die additive Halbgruppe der natürlichen Zahlen kürzbar? In diesem Abschnitt wollen wir ja aus den natürlichen Zahlen die ganzen Zahlen konstruieren, und dabei sollte die Grothendieck-Gruppe uns behilflich sein, denn was war sonst der Sinn der bisjetzigen Arbeit?" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "Wir erinnern hier an eine Definition, die aus den Grundvorlesungen eigentlich bekannt sein sollte. Doch für denjenigen, der sich nicht daran erinnern mag:" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "
\n", " Definition:\n", " Sei $(H,+)$ eine Halbgruppe und $h \\in H$. Der Schnitt über alle Unterhalbgruppen von $H$, die $h$ enthalten, ist wieder eine Halbgruppe. Wir nennen diesen Schnitt zusammen mit der eingeschränkten Verknüpfung das Halbgruppenerzeugnis von $h$ in $H$ und schreiben dazu $\\langle h \\rangle_H$. $H$ heißt zyklisch, wenn es ein Element $a$ aus $H$ gibt, sodass das Halbgruppenerzeugnis von $a$ in $H$ bereits ganz $H$ ist, das heißt $ \\langle a \\rangle_H = H$.\n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "
\n", " \n", "### Aufgabe 2 (Kürzbarkeit)\n", "a) Beweisen Sie, dass zyklische Halbgruppen kürzbar sind.\n", " \n", "b) Betrachen Sie die Menge $M:= \\{ a, b, c, d \\}$, dann bildet $M$ mit der Verknüpfung \n", "$$\\begin{array}{c| c c c c }\n", "\\cdot & a & b & c & d\\\\ \\hline\n", "a & a & a & a & a\\\\\n", "b & a & b & c & d\\\\\n", "c & a & c & a & c\\\\\n", "d & a & d & c & b\\\\\n", "\\end{array}$$\n", "eine Halbgruppe. Untersuchen Sie diese auf Kürzbarkeit.\n", " \n", "c) Finden Sie ein Beispiel für eine unendliche, nicht kürzbare Halbgruppe.\n", "\n", "d) Beweisen Sie, dass der kanonische Homomorphismus einer Halbgruppe in ihre Grothendieck-Gruppe genau dann injektiv ist, wenn die Halbgruppe kürzbar ist.\n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "Die Grothendieck-Gruppe einer kommutativen Halbgruppe $(H,+)$ ist also genau dann eine Erweiterung (der Halbgruppe zu einer Gruppe) im algebraischen Sinn, wenn die zugrundeliegende Halbgruppe kürzbar ist. In diesem Fall schreiben wir die Elemente dieser Gruppe als formale Differenzen, das heißt für je zwei Elemente $h$ und $h'$ der Halbgruppe schreiben wir $h - h' := [(h,h')] $." ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": { "tags": [] }, "source": [ "### Leitbeispiel: Die Definition der additiven Gruppe der ganzen Zahlen " ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "Wir können uns überlegen, dass $(\\mathbb{N},+)$ als zyklische Halbgruppe (der $1$) kürzbar ist. Wir sind also im Glück! Die Grothendieck-Gruppe von der natürlichen additiven Halbgruppe ist tatsächlich eine Erweiterung im algebraischen Sinn." ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "
\n", " \n", "### Aufgabe 3\n", "a) Seien $n$ und $m$ zwei natürliche Zahlen. Geben Sie die Äquivalenzklasse von $(n,m)$ unter der Grothendieckschen Äquivalenzrelation zu $(\\mathbb{N},+)$ an. \n", " \n", "b) Für eine beliebige Gruppe $(G,+)$ sei $-: G \\rightarrow G, g \\mapsto -g$ die Abbildung, die jedes Gruppenelement auf sein Inverses bezüglich der Gruppenoperation abbildet, und $0$ bezeichne das neutrale Element bezüglich der Gruppenoperation. Sei $\\phi$ der kanonische Homomorphismus der additven natürlichen Halbgruppe in ihre Grothendieck-Gruppe. Zeigen Sie, dass für jedes Element $ n - m $ (! formale Differenz, siehe *) der Grothendieck-Gruppe von $(\\mathbb{N},+)$ die Gleichheit\n", " $$ n - m = \\phi(n) + (- \\phi_H(m) )$$\n", "gilt.\n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "Damit ist eine Intuition für Grothendieck-Gruppen gesät. Wir können für kürzbare kommutative Halbgruppen mit der Halbgruppenoperation $+$ ihre Grothendieck-Gruppe als die Menge der formalen Differenzen verstehen. Bilden wir die Grothendieck-Gruppe einer kürzbaren kommutativen Halbgruppe mit der Halbgruppenoperation $\\cdot$, so können wir die zugehörige Grothendieck-Gruppe analog als die Menge der formalen Brüche verstehen. Diese zweite Intuition wird gleich eine wichtige Rolle einnehmen bei der nachfolgenden Konstruktion der rationalen Zahlen." ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": { "tags": [] }, "source": [ "#### Formale Identifikation der Symbolmenge $\\mathbb{Z}$ mit der Grothendieck-Gruppe von $(\\mathbb{N},+)$" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "Wir betrachten die Symbolmenge $\\mathbb{Z}:= \\{ 0 \\} \\cup \\mathbb{N} \\cup (-\\mathbb{N})$, wobei $ (-\\mathbb{N}) := \\{ -n \\, \\vert \\, n \\in \\mathbb{N} \\}$ und identifizieren sie wie folgt mit der Grothendieck-Gruppe von $(\\mathbb{N},+)$:\n", "\n", "$$ \\phi: \\mathbb{Z} \\rightarrow G(\\mathbb{N}),$$\n", "$$ 0 \\mapsto [(1,1)], \\text{ } n \\mapsto [(n+n,n)] \\text{ für alle $n \\in \\mathbb{N}$,} $$\n", "$$ -n \\mapsto [(n,n+n)] \\text{ für alle $n$ der Form $-m$ für ein $m \\in \\mathbb{N}$}.$$ \n", "Diese Abbildung ist bijektiv (Beweis erforderlich). Nun definieren wir die Addition auf der Symbolemenge $\\mathbb{Z}$ über die Gruppenverknüpfung in der Grothendieck-Gruppe. Für je zwei Elemente $s$ und $t$ aus $S$ definieren die Summe dieser Elemente als\n", "$$ s + t := \\phi^{-1} ( \\phi(s) + \\phi(t) ),$$\n", "wobei $\\phi^{-1}$ die Umkehrabbildung von $\\phi$ bezeichnet. Damit ist $(\\mathbb{Z},+)$ eine abelsche Gruppe (Beweis erforderlich) und $\\phi$ ein Gruppenisomorphismus zwischen $(\\mathbb{Z},+)$ und der Grothendieck-Gruppe von $(\\mathbb{N},+)$ (Beweis erforderlich)." ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "
\n", "Denkanstoß:\n", "Schreiben Sie die Definition der Abbildung $\\phi$ nochmal mit der Notation der formalen Differenzen.\n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "
\n", "Denkanstoß:\n", " Die Menge $A$ sei zusammen mit bestimmten Verknüpfungen eine bestimmte algebraische Struktur (Gruppe, Ring, Körper, Modul, Vektorraum, Algebra). Überlegen Sie sich, wie sich diese Struktur auf eine beliebige gleichmächtige Menge $M$ übertragen lässt. Wir erinnern: Zwei Mengen heißen gleichmächtig, wenn eine Bijektion zwischen ihnen existiert.\n", " \n", " Hinweis: Definieren Sie die Verknüpfungen über die Bijektion zwischen $A$ und $M$.\n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "
\n", " Definition (die additive Gruppe der ganzen Zahlen):\n", " Die Symbolmenge $\\mathbb{Z} := \\{ 0 \\} \\cup \\mathbb{N} \\cup (-\\mathbb{N}) $ ausgestattet mit der Gruppenstruktur der Grothendieck-Gruppe von $(\\mathbb{N},+)$ nennen wir die additive Gruppe der ganzen Zahlen und bezeichnen wir mit $(\\mathbb{Z},+)$.\n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "
\n", " Definition (Subtraktion auf $\\mathbb{Z}$):\n", " Die Abbildung\n", " $$-: \\mathbb{Z} \\times \\mathbb{Z} \\rightarrow \\mathbb{Z},$$\n", " $$ (x,y) \\mapsto x + (-y) $$\n", " heißt Subtraktion auf $\\mathbb{Z}$. Die Infix-Notation ist verträglich mit unserer Notation für $\\mathbb{Z}$ als die Menge der formalen Differenzen über $\\mathbb{N}$, vergleiche Aufgabe 3b. \n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": { "tags": [] }, "source": [ "### Die universelle Eigenschaft von Grothendieck-Gruppen" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "Tatsächlich ist die Grothendieck-Gruppe eindeutig bis auf Isomorphie im folgenden Sinne:" ] }, { "attachments": { "41a8553a-89a6-454e-82ae-f3e04bdbf9ad.png": { "image/png": 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} }, "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "
\n", " Definition (universelle Eigenschaft der Grothendieck-Gruppe):\n", " Sei $(H,+)$ eine kommutative Halbgruppe. Sei $G$ ein Gruppe und $\\phi: H \\rightarrow G$ ein Halbgruppenhomomorphismus. Dann gibt es genau einen Gruppenhomomorphismus $\\Psi: G(H) \\rightarrow G$, sodass folgendes Diagramm\n", " kommutiert: \n", "
\n", "\n", "
\n", " In Formeln ausgedrückt: Zu jeder Gruppe $G$, in die die Halbgruppe $H$ mittels eines Halbgruppenhomomorphismuses $\\phi: H \\rightarrow G$ abbildet, gibt es genau einen Gruppenhomomorphismus $\\Psi$, sodass $\\phi = \\Psi \\circ \\phi_H$.\n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "
\n", " \n", "### Aufgabe 4 (freiwillig) \n", "Zeigen Sie die universelle Eigenschaft der Grothendieck-Gruppe. Tipp: Definieren Sie zunächst ein geeignetes $\\Psi$. Weisen Sie für dieses $\\Psi$ nach, dass $\\Psi$ ein Gruppenhomomorphismus ist und wie gewünscht kommutiert. Betrachten Sie danach ein beliebiges weiteres $\\tilde \\Psi: G(H) \\rightarrow G$, welches die universelle Eigenschaft der Grothendieck-Gruppe erfüllt. Zeigen Sie, dass dann $\\tilde \\Psi = \\Psi$ gelten muss.\n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "Sei also $(H,+)$ eine kommutative Halbgruppe, die sich sowohl in ihre Grothendieck-Gruppe, mittels $\\phi_H: H \\rightarrow G(H)$, als auch in die Gruppe $(G,+)$, mittels eines Halbgruppenhomomorphismuses $\\phi: H \\rightarrow G$, injektiv einbetten lässt. Sei weiter $\\Psi$ der dazu passende eindeutige kommutierende Gruppenhomomorphismus, sodass $\\phi = \\Psi \\circ \\phi_H$ gilt. Dann folgt aus der Funktionsvorschrift für $\\Psi$ (vergleiche Aufgabe 4), dass $\\Psi$ injektiv ist. Das heißt: Ist die Grothendieck-Gruppe $G(H)$ eine Erweiterung der zugrundeliegenden kommutativen Halbgruppe $H$, so ist sie bereits die kleinste Gruppe, die $H$ enthält." ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "
\n", " \n", "### Aufgabe 5\n", "Formulieren Sie diese Eigenschaft in eigenen Worten. Was bedeutet das für unsere Konstruktion der ganzen Zahlen? Deuten Sie dieses Ergebnis in natürlicher Sprache. Geben Sie sechs Beispiele für Gruppen an, die $(\\mathbb{N},+)$ im algebraischen Sinne enthalten.\n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": { "tags": [] }, "source": [ "### Zusammenfassung" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "In diesem Abschnitt haben wir unseren mathematischen Werkzeugkasten um Grothendieck-Gruppen ergänzt. Wir können mit Grothendieck-Gruppen aus jeder kommutativen Halbgruppe eine abelsche Gruppe konstruieren. Ist die kommutative Halbgruppe zusätzlich kürzbar, so ist ihre Grothendieck-Gruppe eine Erweiterung im algebraischen Sinn. Unser Leitbeispiel war dafür die kommutative Halbgruppe $(\\mathbb{N},+)$. Diese ist kürzbar, sie lässt sich also injektiv in ihre Grothendieck-Gruppe einbetten. Ihre Grothendieck-Gruppe stimmt bis auf Umbenennung ihrer Elemente mit der Ihnen bekannten additiven Gruppe der ganzen Zahlen überein. Über diese Umbenennung haben wir die Addition auf der Symbolmenge $\\mathbb{Z}$ definiert und haben damit die additive Gruppe der ganzen Zahlen $(\\mathbb{Z},+)$ aus der additiven natürlichen Halbgruppe konstruiert. Schließlich haben wir uns mit der universellen Eigenschaft von Grothendieck-Gruppen klargemacht, dass $(\\mathbb{Z},+)$ die kleinstmögliche Erweiterung von $(\\mathbb{N},+)$ zu einer Gruppe ist." ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": { "tags": [] }, "source": [ "## Aus Ringen Körper konstruieren: Quotientenkörper" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "Unter welchen Voraussetzungen kann man Ringe zu Körpern erweitern? Das ist die Leitfrage dieses Abschnittes. Dazu definieren wir uns ein neues mathematisches Werkzeug, den Quotientenkörper. Quotientenkörper sind eine Konstruktionsvorschrift, um aus Ringen Körper zu erhalten. Wir werden feststellen, dass der Quotientenkörper eigentlich gar kein neues Konzept ist, sondern im Wesentlichen die Grothendieck-Gruppe eines Rings bezüglich der Multiplikation ist. " ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": { "tags": [] }, "source": [ "### Leitbeispiel: Von der additiven Gruppe der ganzen Zahlen zum Ring" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "Unser Leitbeispiel wird der Ring der ganzen Zahlen sein, dessen Quotientenkörper eine Erweiterung im algebraischen Sinn darstellt. Wir werden diesen Körper den Körper der rationalen Zahlen nennen. Doch um diesen Schritt zu wagen, benötigen wir erst noch eine Multiplikation auf den ganzen Zahlen. Dafür betrachten wir folgende Konstruktion, die uns erlaubt, jede abelsche Gruppe als $\\mathbb{Z}$-Modul zu verstehen. " ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "Sei $(G,+)$ eine abelsche Gruppe mit neutralem Element $0_G$. Wir definieren eine Operation $\\cdot$ von $\\mathbb{Z}$ auf $G$ wie folgt:" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "Für alle $g \\in G$ sei $ 0 \\cdot g:= 0_G$ sowie\n", "$$ n \\cdot g:= \\underbrace{g + ... + g}_{z\\text{-mal}} \\text{ für $n \\in \\mathbb{N}$ und}$$\n", "$$ -n \\cdot g:= \\underbrace{(-g) + ... + (-g)}_{(n)\\text{-mal}} \\text{ für $n \\in \\mathbb{N}$}$$" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "Bezüglich dieser Operation ist $(G,+)$ ein $\\mathbb{Z}$-Modul. Tatsächlich kann umgekehrt jeder $\\mathbb{Z}$-Modul als abelsche Gruppe aufgefasst werden." ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "
\n", "Denkanstoß: Überlegen Sie, warum die Modulaxiome erfüllt sind.\n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "Insbesondere ist $(\\mathbb{Z},+)$ mit der obigen Operation ein $\\mathbb{Z}$-Modul. Fassen wir die Punktoperation $\\cdot$ als Multiplikation auf, kann man zeigen, dass $(\\mathbb{Z},+,\\cdot)$ einen nullteilerfreien kommutativen Ring mit Eins bildet." ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "
\n", " Definition:\n", " Wir nennen $(\\mathbb{Z},+,\\cdot)$ den Ring der ganzen Zahlen. \n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "
\n", "Denkanstoß: Überlegen Sie, warum $(\\mathbb{Z},+,\\cdot)$ mit $\\cdot$ nach obiger Definition die Ringaxiome erfüllt. Denken Sie darüber nach, warum die natürliche Zahl $1$ (der Erzeuger der natürlichen Zahlen als zyklische Halbgruppe) das Einselement (multiplikativ neutrale Element) von $(\\mathbb{Z},+,\\cdot)$ ist. Weisen Sie für sich die Kommutativität und Nullteilerfreiheit des Rings der ganzen Zahlen nach. \n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "Wir haben $\\mathbb{Z}$ also auf natürliche Weise mit einer Ringstruktur ausgestattet. Im folgenden Abschnitt werden wir den Ring der ganzen Zahlen zu einem Körper erweitern mittels einer konkreten Konstruktionsvorschrift, dem Quotientenkörper." ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": { "tags": [] }, "source": [ "### Einführung in Quotientenkörper: Integritätsbereiche zu Körper erweitern" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "Mit Grothendieck-Gruppen können wir kommutative, kürzbare Halbgruppen zu abelschen Gruppen erweitern. Nach dem vorigen Unterabschnitt können wir abeslche Gruppen wiederum als $\\mathbb{Z}$-Moduln verstehen, wobei im Spezialfall $(\\mathbb{Z},+)$ die Moduloperation von $\\mathbb{Z}$ auf $(\\mathbb{Z},+)$ eine so geartetete Multiplikation auf $\\mathbb{Z}$ definiert, dass die abelsche Gruppe $(\\mathbb{Z},+)$ zu einem nullteilerfreien, kommutativen Ring mit Eins wird. Es stellt sich die Frage, ob wir nochmal einen „Erweiterungstrick“ anwenden können, um aus unserem Ring der ganzen Zahlen einen Körper zu konstruieren, und allgemeiner, wann ein gegebener Ring zu einem Körper erweitert werden kann. Die Antwort ist: Jeder Integritätsbereich ( = nichttrivialer nullteilerfreier, kommutativer Ring mit Eins) kann zu einem Körper erweitert werden. Genauer:\n", "Für jeden Integritätsbereich $R$ gibt es einen injektiven Ringhomomorphismus von $R$ in den sogenannten *Quotientenkörper* von $R$. Im Speziallfall $R=\\mathbb{Z}$ erhalten wir den Quotientenkörper von $\\mathbb{Z}$, den *Körper der rationalen Zahlen*. Diesen notieren wir $(\\mathbb{Q},+,\\cdot)$. " ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "Sei im Folgenden $(R,+^R,\\cdot^R)$ ein Integritätsbereich, also ein vom Nullring verschiedener nullteilerfreier, kommutativer Ring mit Eins. Dann ist $R^{\\ast} := R \\backslash \\{ 0 \\}$ zusammen mit der eingeschränkten Multiplikation $\\cdot^R$ eine kommutative, kürzbare Halbgruppe. Das heißt, zwei Tupel $(a,b), (x,y) \\in R^{\\times} \\times R^{\\times}$ sind genau dann äquivalent bezüglich der Grothendieckschen Äquivalenzrelation, wenn\n", "$$a \\cdot^R y = x \\cdot^R b$$\n", "gilt. Wir erweitern die Grothendiecksche Äquivalenzrelation auf natürliche Weise auf $R \\times R^{\\ast}$ wie folgt:\n", "$$(0,b) \\sim (x,y) :\\Leftrightarrow 0 \\cdot^R y = x \\cdot^R b$$ \n", "für alle $x \\in R$ und $b,y \\in R^{\\ast}$." ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "
\n", "Denkanstoß:\n", " Die derart erweiterte Relation $\\sim$ ist eine Äquivalenzrelation, also reflexiv, symmetrisch und transitiv. Tipp: Was ist die Äquivalenzklasse von $(0,a)$ für $a \\in R$?\n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "
\n", "Denkanstoß:\n", " Warum können wir $\\sim$ nicht auf ganz $R^2$ erweitern? Genauer gefragt: Warum definiert eine analoge Fortsetzung von $\\sim$ auf $R^2$ keine Äquivalenzrelation mehr? Finden Sie den Widerspruch. Tipp: Für welche $(x,y) \\in R^2$ ist $(x,y) \\sim (a,0)$ für $a \\in R$?\n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "Wir notieren mit $\\frac{a}{b}$ die Äquivalenzklasse von $(a,b)$ unter $\\sim$, also \n", "$$\\frac{a}{b} := \\left\\{ (x,y) \\in R \\times R^{\\ast} \\, \\vert \\, (a,b) \\sim (x,y) \\right\\} \\subset R^2$$ für alle $(a,b) \\in R \\times R^{\\ast}$." ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "
\n", "Denkanstoß (Leitbeispiel):\n", " Betrachten Sie den Integritätsbereich der ganzen Zahlen. Sind $(1,3)$ und $(2,6)$ zueinander äquivalent? Geben Sie die Äquivalenzklasse eines festen Zahlenpaars $(a,b) \\in \\mathbb{Z} \\times (\\mathbb{Z} \\backslash \\{ 0 \\})$ explizit an.\n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "
\n", " Definition (Quotientenkörper):\n", " Sei $(R,+^R, \\cdot^R)$ ein Integritätsbereich. Der Quotientenkörper von $R$ ist die Vereinigung aller Äquivalenzklassen von Zahlenpaaren in $ R \\times R\\backslash \\{ 0 \\}$, also die Menge\n", " $$\\text{Quot}(R) := \\left\\{ \\frac{a}{b} \\, \\vert \\, (a,b) \\in R \\times R\\backslash \\{ 0 \\} \\right\\},$$\n", " ausgestattet mit den Operationen\n", " $$ \\frac{a}{b} + \\frac{x}{y} := \\frac{a \\cdot^R y +^R b \\cdot^R x}{b \\cdot^R y} $$\n", " und\n", " $$ \\frac{a}{b} \\cdot \\frac{x}{y} := \\frac{a \\cdot^R x}{b \\cdot^R y}. $$" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "
\n", " \n", "### Aufgabe 6\n", "***\n", "In dieser Aufgabe sollen Sie zeigen, dass der Quotientenkörper eines Integritätsbereichs $R$ tatsächlich einen Körper definiert und eine Erweiterung von $R$ im algebraischen Sinn ist.\n", " \n", "a) Zeigen Sie die Wohldefiniertheit der obigenen Additions- und Multiplikationsabbildungen.\n", "Sie sollen also zeigen, dass $$+: \\text{Quot}(R) \\times \\text{Quot}(R) \\rightarrow \\text{Quot}(R)$$ und $$\\cdot : \\text{Quot}(R) \\times \\text{Quot}(R) \\rightarrow \\text{Quot}(R)$$ beides Funktionen sind.\n", " \n", "b) Zeigen Sie, dass $(\\text{Quot}(R),+,\\cdot)$ die Körperaxiome erfüllt.\n", " \n", "c) Geben Sie den injektiven Ringhomomorphismus von $R$ nach $\\text{Quot}(R)$ an. Sie müssen nicht beweisen, dass es sich um einen injektiven Ringhomomorphismus handelt.\n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "
\n", "Denkanstoß: Was ist der Quotientenkörper des Polynomrings $\\mathbb{K}[X]$ für einen Körper $\\mathbb{K}$? \n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": { "tags": [] }, "source": [ "### Leitbeispiel: Vom Ring der ganzen Zahlen zum Körper der rationalen Zahlen / Vom Ring der ganzen Zahlen zu den rationalen Zahlen" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "
\n", " Definition:\n", " Wir nennen den Quotientenkörper des Rings der ganzen Zahlen den Körper der rationalen Zahlen und schreiben dazu $(\\mathbb{Q},+,\\cdot)$." ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "
\n", " \n", "### Rückblickaufgabe\n", "***\n", "Nachdem wir in diesem Blatt die Konstruktion von Neumanns der natürlichen Zahlen aus der Mengenlehre in groben Zügen kennengelernt haben, haben wir Grothendieck-Gruppen kennengelernt. Eine Grothendieck-Gruppe ist eine bestimmte abeslche Gruppe, die wir über einer gegebenen kommutativen Halbgruppe konstruieren können. Sie ist genau dann eine Erweiterung, wenn die zugrundeliegende Halbgruppe kürzbar ist. Mit dieser Konstruktionsvorschrift haben wir aus der natürlichen additiven Halbgruppe die additive Gruppe der ganzen Zahlen konstruiert. Danach haben wir Quotientenkörper kennengelernt, ein zu einem Integritätsbereich zugehöriger Körper mit bestimmter Konstruktionsvorschrift, die der der Grothendieck-Gruppen ähnelt. Um dieses Konzept mit den ganzen Zahlen zu kombinieren, musste noch eine Multiplikation auf $\\mathbb{Z}$ her. Dafür haben wir genutzt, dass jede abelsche Gruppe als $\\mathbb{Z}$-Modul aufgefasst werden kann. Die Multiplikation auf $\\mathbb{Z}$ haben wir dann möglichst natürlich über die Punktoperation von $\\mathbb{Z}$ auf $(\\mathbb{Z},+)$ definiert. Da $(\\mathbb{Z},+,\\cdot)$ ein Integritätsbereich ist, kann man den Quotientenkörper darüber bilden. Diesen haben wir definiert als den Körper der rationalen Zahlen. \n", " \n", "Was ist die Grothendieck-Gruppe von $(\\mathbb{N} \\backslash \\{ 0 \\},\\cdot) $ ? (Erinnern Sie sich daran, dass die Multiplikation auf den natürlichen Zahlen auch mengentheoretisch definiert werden kann.) Identifizieren Sie die erhaltene Gruppe $(G,\\cdot)$ mit einer Ihnen bekannten Menge und definieren Sie eine Addition $+$ auf $G$ als Einschränkung der kanonischen Addition auf dieser Ihnen bekannten Menge. Bilden Sie danach die Grothendieck-Gruppe von $(G,+)$. Mit welcher Ihnen bekannten Menge lässt sich die erhaltene Gruppe identifizieren? Vergleichen Sie Ihr Vorgehen mit dem Vorgehen in diesem Notebook, die natürlichen Zahlen zu einem Körper zu erweitern. Welche Vorteile birgt die in diesem Blatt vorgeführte Konstruktion, insbesondere in Hinsicht auf eine naheliegende Vorgehensweise?\n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": { "tags": [] }, "source": [ "### Literaturhinweise\n", "- Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre. (2023). In Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. https://www.wikiwand.com/de/Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre\n", "- Diplomarbeit „Konstruktion der Zahlenbereiche“ von Lukas Weissenböck an der Uni Wien\n", " https://utheses.univie.ac.at/detail/49277#\n", "- Grothendieck-Gruppe. (2023). In Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. https://www.wikiwand.com/de/Grothendieck-Gruppe" ] } ], "metadata": { "kernelspec": { "display_name": "Python 3 (ipykernel)", "language": "python", "name": "python3" }, "language_info": { "codemirror_mode": { "name": "ipython", "version": 3 }, "file_extension": ".py", "mimetype": "text/x-python", "name": "python", "nbconvert_exporter": "python", "pygments_lexer": "ipython3", "version": "3.9.7" } }, "nbformat": 4, "nbformat_minor": 4 }