{ "cells": [ { "cell_type": "markdown", "id": "a21116a5-7649-4f20-a253-c8f3c0458bad", "metadata": {}, "source": [ "# Raumzeit-Algebra" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "ec8cb85e-b37a-4b13-8137-1f7aa1155d3b", "metadata": {}, "source": [ "
\n", "Ziel des Notebooks:\n", "- Verständnis für das Tensorprodukt zwischen Vektorräumen\n", "- Kennenlernen des Raumzeitmodells \"Raumzeit-Algebra\"\n", " \n", "Mathematische Tools:\n", "- Lineare Algebra\n", "- Tensorprodukt\n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "378647ba-773e-4d72-8682-7dc68e0f5519", "metadata": {}, "source": [ "Im späten 19. Jahrhundert war die klassische Physik, basierend auf den Arbeiten von Newton und Maxwell, die vorherrschende Theorie, die Raum und Zeit als getrennte, absolute Entitäten ansah. Die Maxwell'schen Gleichungen beschrieben das elektromagnetische Feld und deuteten auf die Existenz einer Lichtgeschwindigkeit hin, die als konstant angenommen wurde.\n", "\n", "Es war jedoch ein Experiment, das die wissenschaftliche Gemeinschaft erschütterte und den Weg für die Relativitätstheorie ebnete: das Michelson-Morley-Experiment von 1887. Dieses Experiment sollte die Bewegung der Erde durch den Äther nachweisen, einer hypothetischen Substanz, die in der klassischen Physik als Medium für die Ausbreitung von Licht angenommen wurde. Überraschenderweise ergab das Experiment jedoch, dass die Lichtgeschwindigkeit unabhängig von der Bewegung der Erde immer gleich blieb. Dies widersprach den Erwartungen der klassischen Physik und erforderte eine radikale Überarbeitung unseres Verständnisses von Raum und Zeit.\n", "\n", "Albert Einstein griff diese Herausforderung auf und entwickelte die Spezielle Relativitätstheorie, die postulierte, dass Raum und Zeit untrennbar miteinander verknüpft sind und dass die Lichtgeschwindigkeit in einem Vakuum für alle Beobachter gleich ist. Dies führte zu einer neuen geometrischen Darstellung von Raum und Zeit, der sogenannten Raumzeitalgebra." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "aaa49dec-e101-4f26-823f-a64c04880144", "metadata": {}, "source": [ "
\n", " \n", "### Exkurs - Formale Summen\n", "***\n", " \n", "Bevor wir uns dem eigentlichen Thema widmen, möchten wir uns in einem kurzen Exkurs mit formalen Summen beschäftigen; einem Konzepzt, welches zunächst gewöhnungsbedürftig ist, das in der abstrakten Mathematik aber häufig Anwendung findet.\n", "\n", "Sei $M$ eine endliche Menge und $\\mathbb{K}$ ein Körper, dann ist der Raum $\\mathbb{K}^M$ der Abbildungen von $M$ nach $\\mathbb{K}$ zusammen mit der komponentenweise Addition und Skalarmultiplikation ein Vektorraum. Die Familie $(\\delta_{m})_{m\\in M}$ definiert durch $\\delta_{m}: M \\to \\mathbb{K}, x \\mapsto \\begin{cases}\n", "1, & \\text{falls} \\;x=m\\\\\n", "0, & \\text{sonst} \\\\\n", "\\end{cases}$ bildet eine Basis des Vektorraums (Rechnen Sie diese beiden Behauptungen nach!), d.h. wir können jeden Vektor $v \\in \\mathbb{K}^M$ wie folgt schreiben: $\\sum_{m\\in M}a_m\\delta_m$.\n", " \n", "Da wir die $\\delta_m$ mit den $m\\in M$ identifizieren können, schreiben wir auch $\\sum_{m\\in M}a_mm$. und nennen $\\mathbb{K}^M$ den Vektorraum mit Basis $M$. Wenn wir von dem von $M$ frei erzeugten Vektorraum sprechen, sprechen wir von einem Vektorraum $V\\cong \\mathbb{K}^M$. Die Vektorraumelemente schreiben wir auf gleiche Art: $\\sum_{m\\in M}a_mm$.\n", "***" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "1a256c97-053c-45e3-910d-c4589a0dffd4", "metadata": {}, "source": [ "
\n", "Denkanstoß: Funktioniert diese Konstruktion auch für unendliche Mengen $M$? Betrachten Sie $\\mathbb{K}^M$ und $\\langle\\delta_m|m\\in M\\rangle$.\n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "435f5b68-e79c-4bc0-a288-20ee726645e4", "metadata": {}, "source": [ "Was eine Algebra ist, sollten Sie aus der Linearen Algebra kennen. Andernfalls wiederholen wir den Begriff hier nochmal:" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "87002909-9946-4658-bb62-7ebbe142d171", "metadata": {}, "source": [ "
\n", " \n", "### Definition - Algebra\n", "***\n", "\n", "Sei $\\mathbb{K}$ ein Körper. Eine Menge $A$ mit den innern Verknüpfungen $+:A\\times A \\to A$, $\\circ:A\\times A \\to A$ sowie der äußeren Verknüpfung $\\cdot:\\mathbb{K}\\times A \\to A$ wird (assoziative) $\\mathbb{K}$-Algebra genannt, falls die folgenden Axiome gelten:\n", " \n", "1) $(A,+,\\circ)$ ist ein Ring\n", "2) $(A,+,\\cdot)$ ist ein $\\mathbb{K}$-Vektorraum\n", "3) $\\forall \\lambda \\in \\mathbb{K} \\: \\forall a,b\\in A: (\\lambda\\cdot a)\\circ b = \\lambda \\cdot (a\\circ b) = a\\circ(\\lambda\\cdot b)$" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "f522fba7-94ea-48b0-b202-afa138b3b1df", "metadata": {}, "source": [ "Selbst wenn der Begriff \"Algebra\" für Sie neu ist, so sind Sie doch gewohnt im Umgang mit Ihnen, wie Ihnen die folgenden, geläufigen Beispiele aufzeigen sollten. Sie brauchen also keine Angst vor Algebren zu haben.\n", "\n", "Im Folgenden sei $\\mathbb{K}$ ein Körper, dann ist:\n", "- der Polynomring $\\mathbb{K}[X]$ ist mit der punktweisen Addition $+$, der Polynommultiplikation $\\circ$ und der Skalarmultiplikation $\\cdot$ eine $\\mathbb{K}$-Algebra\n", "- Die Matrizen $\\mathbb{K}^{n\\times n}$ bilden mit der punktweisen Addition $+$, der Matrizenmultiplikation $\\circ$ und der Skalarmultiplikation $\\cdot$ eine $\\mathbb{K}$-Algebra\n", "- $\\mathbb{C}$ ist mit der gewöhnlichen Addition $+$ und der gewöhnlichen Multiplikation $\\circ$ bzw. $\\cdot$ eine $\\mathbb{R}$-Algebra. Dabei ist zu beachten, dass \"$\\cdot$\" zwar die gewöhnliche Multiplikation auf $\\mathbb{C}$ meint. Allerdings schränkt \"$\\cdot$\" den Definitionsbereich auf $\\mathbb{R}\\times\\mathbb{C}$ ein." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "37504085-d9b7-4b54-b03a-69e01a19235a", "metadata": {}, "source": [ "Das Tensorprodukt wird üblicherweise über folgende universelle Eigenschaft eingeführt:" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "14048132-4dfa-4b7d-ac98-5e27897e74a7", "metadata": {}, "source": [ "UNIVERSELLE EIGENSCHAFT FOTO" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "f3ac4409-9c88-4964-813d-0b5d9942cdc4", "metadata": {}, "source": [ "Das birgt den Vorteil, dass sich die Definition leicht auf Moduln (Das sind Verallgemeinerungen von Vekotrräumen. Bei ihnen reicht es einen Ring statt eines Körpers zugrunde zu legen) übertragen lässt. Wir betrachten allerdings für unsere Anwendung nur Vektorräume, weshalb wir für dieses Notebook folgende Definition zugrunde legen:" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "f6e998f6-929b-48b2-84a4-5055470c26b9", "metadata": {}, "source": [ "
\n", " \n", "### Definition - Tensorprodukt\n", "***\n", "Sei $\\mathbb{K}$ ein Körper und seien $V$ und $W$ zwei endlich dimensionale $\\mathbb{K}$-Vektorräume mit zugehöriger Basis $B$ bzw. $C$. Dann nennen wir das Tupel $(V\\otimes W, \\otimes)$ das Tensorprodukt von $V$ und $W$. Dabei bezeichnet $V\\otimes W$ den (bis auf Isomorphie eindeutigen) $\\mathbb{K}$-Vektorraum mit Basis $B\\times C$. Die Abbildung $\\otimes: V\\times W \\to V \\otimes W$ ist für $(b,c) \\in B\\times C$ definiert durch $(b,c) \\mapsto b\\otimes c := (b,c)$ und wird bilinear fortgesetzt.\n", " \n", "Wir schreiben $B\\times C$ daher auch $B\\otimes C$. Oft bezeichnet man $V\\otimes W$ als das Tensorprodukt von $V$ und $W$ und unterschlägt dabei die Abbildung $\\otimes$.\n", " \n", "Bemerkung: Dass man $B\\otimes C$ schreibt, hat genau damit zu tun, dass wir nicht unbedingt von $\\mathbb{K}^{B\\times C}$, sondern von einem $V\\cong\\mathbb{K}^{B\\times C}$ sprechen. Die Basis muss also nicht unbedingt $B\\times C$ sein, sondern ist eben $B \\otimes C =\\{ b \\otimes c | b\\in B, c \\in C\\}$. Wir haben hier also eine etwas engere Definition des Tensorprodukt, die auf ein spezifisches Objekt aus einer Isomorphieklasse zugreift." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "dcee424b-f5e1-4f14-b609-6b2e4c8947b2", "metadata": { "tags": [] }, "source": [ "
\n", " \n", "### 1. Aufgabe\n", "***\n", " \n", "1) Zeigen Sie, dass $V\\otimes W$ die besagte universelle Eigenschafft erfüllt.\n", "2) Zeigen Sie, dass das Tensorprodukt bis auf Isomorphie eindeutig ist.\n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "9fca4516-a8c1-4930-983e-623314ee1cbf", "metadata": {}, "source": [ "
\n", " \n", "### Definition - Tensoralgebra\n", " \n", "***\n", "Aufgrund der Assoziativität des kartesischen Produkts ist auch das Tensorprodukt assoziativ. Anstatt $V\\otimes...\\otimes V$ mit $n$-mal auftauchendem $V$ zu schreiben, schreiben wir auch $V^{\\otimes n}$ oder $V^n$, wenn klar ist, dass damit das $n$-fache Tensorprodukt gemeint ist. Für $\\mathbb{K}$ schreiben wir auch $V^0$.\n", " \n", "Die Tensoralgebra $T(V)$ eines endlich-dimensionalen $\\mathbb{K}$-Vektorraums $V$ ist definiert durch: $T(V) := \\bigoplus_{n\\in \\mathbb{Z}_{\\geq 0}}V^n$\n", " \n", "Bemerkung: Statt $v\\otimes v$ eines Vektors $v\\in V$ schrieben wir auch $v^2$. Ananlog gilt $v \\otimes ... \\otimes v = v^m$, wobei das $m$ die Anzahl der Faktoren ist." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "fb0fc8c8-245f-4fc5-8bbc-1b161a15b097", "metadata": {}, "source": [ "Wir werden uns absofort auf den reellen Fall $\\mathbb{K=R}$ konzentrieren, da unsere Konstruktion physikalisch motiviert ist und dieser Fall für die Konstruktion der Raumzeit-Algebra ausreichend ist." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "fde0924d-7546-4dcc-a5fc-980d3cbc0cdd", "metadata": {}, "source": [ "
\n", " \n", "### Definition - Quadratische Form\n", "***\n", "Sei $V$ ein endlich-dimensionaler $\\mathbb{R}$-Vektorraum und $q:V \\to \\mathbb{R}$ linear. $q$ heißt quadratische Form, falls es eine symmetrische Bilinearform $b: V \\times V \\to \\mathbb{R}$ mit $q(v)=b(v,v)$ gibt. $b$ und $q$ heißen in diesem Fall assoziiert." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "d94f05e1-4dc4-4410-bc17-46e898771432", "metadata": { "tags": [] }, "source": [ "
\n", " \n", "### Definition - Reelle Clifford-Algebren\n", "***\n", "Sei $V$ ein endlich-dimensionaler $\\mathbb{R}$-Vektorraum und $q:V \\to \\mathbb{R}$ eine quadratische Form auf $V$. Dann ist $I:=\\langle v^2- q(v)|v\\in V\\rangle$ ein Ideal der Tensoralgebra $T(V)$ und die Clifford-Algebra $Cl(V,q)$ ist definiert durch: $Cl(V,q):=T(V)\\big/I$\n" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "c66a0a57-4625-472e-ba53-11c5674c4c89", "metadata": {}, "source": [ "Es kann hilfreich sein, jetzt schonmal den Text zum Thema Quotientenbildung zu lesen, den Sie am Ende des Notebooks finden." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "b04fdd94-af58-4590-ab97-c2f6ece27e24", "metadata": {}, "source": [ "
\n", " \n", "### 2. Aufgabe\n", "***\n", " \n", "1) Zeigen Sie, dass für ein Ideal $I$ einer $\\mathbb{K}$-Algebra $A$ auch $A\\big/I$ eine $\\mathbb{K}$-Algebra ist.\n", "2) Zeigen Sie außerdem, dass $I:=\\langle v^2 - q(v)|v\\in V\\rangle$ ein Ideal der Tensoralgebra $T(V)$ ist.\n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "3c8851bf-e834-4dc4-897c-597d50904bd2", "metadata": { "tags": [] }, "source": [ "
\n", "Denkanstoß: Kommt Ihnen $Cl(\\mathbb{R}^2,q)$, wobei $q$ durch die zugehörige Gram-Matrix $\\left(\\begin{matrix}\n", "1 & 0 \\\\\n", "0 & -1\n", "\\end{matrix}\\right)$ gegeben ist, bekannt vor?
\n", "Tipp: Betrachten sie die Bilder von $(e_1,e_1)$ und $(e_2,e_2)$.\n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "18351c27-3aa4-440a-89fe-387896db3422", "metadata": {}, "source": [ "Diese Definition ist recht abstrakt. Sie wird allerdings schnell einleuchtend, wenn man die Idee dahinter kennt." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "842c9aa2-be77-4200-be81-0cf4b0a2ee23", "metadata": {}, "source": [ "
\n", " \n", "### 3. Recherche-Aufgabe\n", "***\n", "1. Recherchieren Sie, wie sich eine Clifford-Algebra visualisieren lässt. Klären Sie dabei inbesondere die Begriffe \"Skalar\", \"Bivektor\" und \"Multivektor\".\n", " \n", "2. Erklären Sie daraufhin in eigenen Worten, was eine Clifford-Algebra ist. Halten Sie die Erklärung möglichst frei von Formeln und Formalismus. Sie dürfen dabei gerne Gebrauch von Skizzen machen.\n", " \n", "3. Überarbeiten Sie Ihre Erklärung nachdem Sie mit ihrer Hilfe einem ihrer Komillitonen, der sich nicht mit dem Thema auskennt, erklärt haben, was eine Clifford-Algebra ist.\n", "\n", "Hinweis: Im englischen Sprachraum finden Sie reelle Clifford-Algebren auch häufig unter \"Geometric Algebra\".\n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "94937b64-1a9f-4221-8ae0-63a39b4ed1a6", "metadata": {}, "source": [ "## STA - Die Raumzeit-Algebra\n", "***" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "0697cf34-7955-40b8-b6c1-05c62fb2b3ef", "metadata": {}, "source": [ "Die Idee, Raum und Zeit zu einer einzigen Einheit, der Raumzeit, zusammenzuführen, ermöglichte Einstein, einige der merkwürdigen Phänomene zu erklären,\n", "die bei extrem hohen Geschwindigkeiten auftreten. Eines dieser Phänomene ist die sogenannte Längenkontraktion.\n", "\n", "Die Längenkontraktion ist ein direktes Ergebnis aus der Raumzeitgeometrie, die wir noch kennenlernen werden. Sie besagt, dass ein Objekt, das sich mit hoher Geschwindigkeit relativ zur Beobachtungsperson bewegt, in Richtung seiner Bewegung verkürzt erscheint. Die Minkowski-Metrik ermöglicht es, diese Verkürzung genau zu berechnen und zu verstehen, wie sie von der Relativgeschwindigkeit abhängt." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "c9c8eac8-6439-43a8-8ad4-cb786561b893", "metadata": {}, "source": [ "Die Längenkontraktion kann dadurch erklärt werden, dass wir in der Relativitätstheorie Abstände anders messen, als wir das gewohnt sind. Wenn wir die Länge eines Stockes messen wollen, dann dürfen nicht nur den Anfangs- und Endpunkt des Stockes im Raum messen, denn Raum losgelöst von Zeit gibt es nicht. Wir müssen zusätlich den Zeitpunkt angeben, zu dem wir den Anfangspunkt gemessen haben und den Zeitpunkt zu dem wir den Endunkt gemessen haben. Wir erhalten also für Anfangspunkt und Endpunkt jeweils 4 reelle Koordinaten.\n", "Die Raumzeit sei also modelliert als $\\mathbb{R}^4$. Der Stock befinde sich in Ruhe. Der Vektor $x_1$ sei der Anfangspunkt des Stockes (inklusive der Zeitkoordinate). Analog sei $x_2$ der Endpunkt des Stockes. Dann können wir dem Vektor $x_2-x_1$ eine Länge zuordnen. Das wird die Länge des Stockes sein. Um einzubeziehen, dass wir es mit verschiedenartigen Koordinaten haben (Raum und Zeit), messen wir den Abstand über eine besondere Bilinearform, auf die wir später eingehen werden (Die Minkowski-Metrik). Denn obwohl wir Raum und Zeit zusammengeführt haben, heißt das nicht, dass es keinen Unterschied zwischen Raum und Zeit gibt. Jeden Vektor aus unserem Raumzeit-Modell $\\mathbb{R}^4$, dem sogenannten Minkowski-Raum, können wir eindeutig einer der 3 folgenden Kategorien zuordnen:\n", "- raumartige Vektoren\n", "- zeitartige Vektoren\n", "- lichtartige Vektoren" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "f6ff4d04-fd39-4f27-b820-dc43b95770ca", "metadata": {}, "source": [ "
\n", " \n", "### Definition - Minkowski-Raum\n", "$M$ sei der von $\\{\\gamma_0,\\gamma_1,\\gamma_2,\\gamma_3\\}$ frei erzeugte reelle Vektorraum.\n", "\n", "Bemerkungen:\n", "- $M\\cong \\mathbb{R}^4$\n", "- $\\gamma_0$ nimmt die Rolle eines zeitartigen Vektors ein\n", "- $\\gamma_1, \\gamma_2, \\gamma_3$ nehmen die Rolle von raumartigen Vektoren ein\n", "- Elemente des Minkowski-Raumes werden als Vierervektoren bezeichnet\n" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "2a4d938b-706e-4421-bc60-7e48c47ae51c", "metadata": {}, "source": [ "
\n", " \n", "### 4. Recherche-Aufgabe\n", "***\n", "1. Finden Sie heraus, was die 3 genannten Begriffe \"raumartig\", \"zeitartig\" und \"lichtartig\" jeweils bedeuten. Gehen Sie dabei auf den Begriff Lichtkegel ein.\n", "2. Erklären Sie, warum man für zwei Ereignisse nicht eindeutig sagen kann, ob sie gleichzeitig passiert sind. Warum kann man für manche Ereignisse sagen, dass sie sicher nicht gleichzeitig passiert sind. Gehen Sie dabei auf den Begriff Inertialsystem ein.\n", "\n", "Hinweis: Folgende Erklärung kann Ihnen helfen, wenn Sie die darin vorkommenden Begriffe bereits recherchiert haben.\n", "- Ein Vektor ist heißt raumartig, wenn es ein Inertialsystem gibt, in dem er keine Zeitkomponente hat (Wir trennen $M$ in $<\\gamma_0>\\times <\\gamma_1,\\gamma_2,\\gamma_3>$ auf und nennen die erste Koordinate Zeitkoordinate. Recherchieren Sie für weitere Erklärungen diesbezüglich zum Begriff \"Minkowski-Raum\").\n", "- Analog heißt ein Vektor zeitartig, wenn es ein Inertialsystem gibt, sodass er keine Raumkomponenten hat.\n", " \n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "7a0e7f9d-106b-48e3-86bc-9eb247c3385e", "metadata": {}, "source": [ "Mit diesen Begriffen gewapnet, können wir nun die Längenkontraktion plausibel machen.\n", "Die Länge, die wir in der klassichen Physik messen, ist rein räumlicher Natur. Wenn wir zu unserem Stock-Beispiel zurückkehren, heißt das, dass wir nur die euklidische Länge der räumlichen Komponenten des Vierervektors $x_2-x_1$ berechnen.\n", "\n", "Das heißt wir projizieren einen Vierervektor $v\\in M$ zunächst orthogonal auf den Untervektorraum $R:=<\\gamma_1,\\gamma_2,\\gamma_3>$ und messen dann seine Länge. Sei $\\pi$ diese Projektion, dann ist die Länge des Stockes in der klassischen Physik die euklidische Länge von $\\pi(x_2-x_1)$.\n", "Betrachten wir den Stock allerdings aus einem anderen Inertialsystem, in dem er eine hohe Geschwindigkeit hat, dann haben wir andere Koordinaten $x_1'$ und $x_2'$. Die Länge des Stockes ist nun $x_2'-x_1'$. Wir haben den Längenbegriff natürlich so gewählt, dass $x_2'-x_1'=x_2-x_1$. Die Raumzeitlänge des Stockes ist also konstant. Tatsächlich hat $x_2'-x_1'$ aber andere räumliche Komponenten als $x_2-x_1$. Das hat zur Folge, dass\n", "$||\\pi(x_2'-x_1')||_2\\not = ||\\pi(x_2-x_1)||_2$, wobei $||\\cdot||_2$ die euklidische Norm auf $R$ bezeichne. Genau dieser Umstand erklärt das Phänomen der Längenkontraktion." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "8df06d04-bf2d-49cc-8583-27c01df21b04", "metadata": {}, "source": [ "
\n", "Denkanstoß: Wie hängt $x_i$ mit $x_i'$ zusammen?\n", " \n", "Tipp: Recherchieren Sie zum Thema Lorentz-Transformationen.\n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "a8a594c4-67c2-46f4-ab5d-949f4f639be9", "metadata": {}, "source": [ "Nun kommen wir endlich zu einer mathematisch präzisen Beschreibung, wie man Raumzeitlängen misst." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "adbde7a5-08d2-4200-ab3a-4ab9ac681579", "metadata": { "tags": [] }, "source": [ "
\n", " \n", "### Definition - Minkowski-Metrik\n", "***\n", "Die Bilinearform $\\eta$, die durch folgende reelle $4\\times 4$ Gram-Matrix $[\\eta]$ gegeben ist, wird als Minkowski-Metrik bezeichnet. $ [\\eta] :=\\left( \\begin{matrix}\n", "1 & 0 & 0 & 0\\\\\n", "0 & -1 & 0 & 0 \\\\\n", "0 & 0 & -1 & 0 \\\\\n", "0 & 0 & 0 & -1\n", "\\end{matrix} \\right)$\n", " \n", "Die Gram-Matrix ist bezüglich der Minkowski-Raum-Basis $(\\gamma_0,\\gamma_1,\\gamma_2,\\gamma_3)$ gegeben.
\n", "Mit der Minkowski-Metrik messen wir Abstände im Minkowskiraum. Die Raumzeitlänge eines Vierervektors $v \\in \\mathbb{R}^4$ ist definiert als $v^T[\\eta]v=\\eta(v,v)$\n", " \n", "Bemerkung:\n", "1. Abständer, die mit der Minkowski-Metrik gemessen werden, können negativ sein.
\n", "2. Je nach Konvention ist Die Minkowski-Metrik auch manchmal durch $-[\\eta]$ gegeben.\n" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "b675d51e-9aeb-4205-8aa3-4a9a504131ab", "metadata": {}, "source": [ "Damit haben wir auch schon alle Mittel beisammen, um die Raumzeit-Algebra zu definieren." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "7c0b12da-9e45-4b1b-9e2c-4dcff8584647", "metadata": {}, "source": [ "
\n", " \n", "### Definition - Raumzeit-Algebra\n", "***\n", "Sei $M$ der Minkowski-Raum und $STA$ die reelle Clifford-Algebra $Cl(V, \\tilde\\eta)$, wobei $\\tilde\\eta$ die zur Minkowski-Metrik assoziierte quadratische Form sei. Dann heißt $STA$ Raumzeit-Algebra (aus dem Englischen \"spacetime algebra\")." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "e237220e-fe26-4abb-a647-2c8e5796b878", "metadata": {}, "source": [ "
\n", "Denkanstoß: Bevor Sie weiterlesen, versuchen Sie selbst eine Basis für den Vektorraum $STA$ zu finden.
\n", "Tipp: Machen Sie sich noch einmal klar, was Quotientenbildung bedeutet. Der unten stehende Text kann Ihnen dabei helfen.\n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "7c28bc3a-438b-4fd3-a33d-28f0f5e5070b", "metadata": {}, "source": [ "Wir werden nun versuchen die Definition besser zu verstehen.
\n", "Zunächst einmal wissen wir nach Definition, dass $STA$ ein Quotientenraum der Tensoralgebra ist. Die Tensoralgebra der Vektorraums $M$ besteht nicht nur aus Vektoren $v \\in M$, sondern auch aus Skalaren, Bi- und Multivektoren. Diese Begriffe sollten Ihnen aus Ihren Recherchen vertraut sein.\n", "Wenn wir einen Quotienten bilden, kann man das so interpretieren, als Fügen wir Relationen zwischen den Elementen hinzu." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "c1ecce62-e8f6-422e-bfbf-8309b1c83dca", "metadata": {}, "source": [ "Wir widmen uns kurz einem sehr einfachen Beispiel, um dort zu demonstrieren, wie wir über Quotientenbildung nachdenken wollen." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "57bdcc59-8bcf-4aad-a870-4bde3fade435", "metadata": { "tags": [] }, "source": [ "## Quotientenbildung - $\\mathbb{Z}\\big/n\\mathbb{Z}$\n", "***" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "7719a1ad-cc97-4b09-b07a-c3ab0bddbeed", "metadata": {}, "source": [ "Ab sofort schreiben wir für $\\mathbb{Z}\\big/n\\mathbb{Z}$ kurz $\\mathbb{Z}_n$.
\n", "In der linearen Algebra haben Sie gelernt, wie man den Quotient eines Rings mit einem Ideal bildet. Ein häufiges Beispiel, das betrachtet wurde ist $\\mathbb{Z}_n$. Rechnen in dieser Art von Strukturen lernt man bereits in der Grundschule anhand von Uhren. Dort rechnet man in $\\mathbb{Z}_{12}$ bzw. $\\mathbb{Z}_{24}$.\n", "\n", "Das Ideal in $\\mathbb{Z}$, welches wir aus $\\mathbb{Z}$ rausteilen, um $\\mathbb{Z}_n$ zu erhalten ist $n\\mathbb{Z} = \\{n\\cdot z | z \\in \\mathbb{Z}\\}$ für ein festes $n \\in \\mathbb{N}$. Nun gilt $a\\sim b$ nach Definition genau dann, wenn $a-b \\in n\\mathbb{Z}$. Also genau dann, wenn $a \\in b + n\\mathbb{Z}$, das heißt, wenn es $a$ und $b$ den gleichen Rest bezüglich Division durch $n$ haben.\n", "\n", "Soweit war das für Sie wahrscheinlich nichts Neues. Wir wollen dieses Ideal nun einfach als Relation, d.h. als Gleichung, Verstehen. Statt $a \\sim b$ schreiben wir einfach $a=b$. Wir verzichten also auf die Kennzeichnung, dass es sich um Äquivalenzklassen handelt. Genau genommen handelt es sich ja bei $a$ und $b$ um Elemente aus $\\mathbb{Z}$ und wenn $a\\sim b$ gilt, gilt $[a]=[b]$, wobei $[a],[b] \\in \\mathbb{Z}_n$. Die neue Schreibweise ist dann sinnvoll, wenn das einzige Objekt, über das wir sprechen der Quotient selbst ist (in diesem Fall $\\mathbb{Z}_n$) und nie über das Objekt selbst gesprochen wird, aus dem man das Ideal herausteilt (in diesem Fall $\\mathbb{Z}$).
\n", "Für das Beispiel $\\mathbb{Z}_n$ macht das also wenig Sinn, weil $\\mathbb{Z}$ in verschiedensten Kontexten ständig auftaucht und man beinahe nicht drumrumkommt über $\\mathbb{Z}$ zu sprechen. Da es aber ein so einfaches Beispiel ist, möchten wir es hier allerdings trotzdem machen, um sich an die Notation zu gewöhnen.\n", "\n", "Sei $n=3$. Zahlen und Variablen, die in diesem Textabschnitt auftauchen sind immer Elemente des $\\mathbb{Z}_3$, es sei denn, es ist explizit anders angegeben.
\n", "Mit der neuen Notation erlauben wir, dass Elemente des $\\mathbb{Z}_3$ verschiedene Darstellungen haben. $0$ und $9$ bezeichnen das gleiche Element. Es sind verschieden \"Namen\" für das gleiche Objekt. Es gilt also: $0=9$.\n", "Sie kennen das bereits, im Prinzip steht dort nur $[0]=[9]$ bzw. $0 = 9 \\ \\text{mod}\\ 3$.
\n", "Nun gilt natürlich $a=b$ genau dann, wenn $a-b=0$ (Machen Sie sich das klar, indem Sie die alte Notation benutzen!). Außerdem folgt aus $0=a$ die Gleichheit $0=a*z$ für alle $z\\in \\mathbb{Z}$. Das heißt, die Gleichung $0=3$ enthält bereits alle Informationen über $3\\mathbb{Z}$. Wir können also $\\mathbb{Z}_3$ so verstehen also teilen wir aus $\\mathbb{Z}$ die Gleichheit $0=3$ heraus. Man schreibt manchmal $\\mathbb{Z}_3 =\\mathbb{Z}\\big/(3=0)$. Analog gilt natürlich $\\mathbb{Z}_n =\\mathbb{Z}\\big/(n=0)$.\n", "***" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "becd752a-1186-4c11-9e11-2ed125f5171e", "metadata": {}, "source": [ "All das wollen wir jetzt auf unser konkretes Beispiel $STA$ anwenden. Die Quotientenbildung dort funktioniert ganz genau so. Da wir nur von $STA$ und nicht von der Tensoralgebra sprechen, macht die Notation Sinn. Variabeln im folgenden Text bezeichnen also Elemente der $STA$." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "eecd2a7b-6635-4b21-9287-5cd5d8f73aab", "metadata": {}, "source": [ "Die Definition der Clifford-Algebra sagt uns, dass $s=t$ genau dann gilt, wenn $s-t \\in I=\\langle v^2- \\tilde\\eta(v)|v\\in M\\rangle$. Mit dem was wir im letzten Textabschnitt gelernt haben, können wir das Ideal in eine Gleichung überführen, die alle Informationen über das Ideal enthält." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "10fbf9fd-801e-4fcc-ab4f-1eac68f87ad3", "metadata": {}, "source": [ "
\n", "Denkanstoß: Leiten Sie sich selbstständig die gesuchte Gleichung her und vergleichen Sie Ihre Ergebnisse mit der gegebenen Lösung.\n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "b8d9be11-9ff3-4976-ab78-f848132ced12", "metadata": {}, "source": [ "Um die gesuchte Gleichung zu erhalten, müssen wir lediglich verstehen, dass $I=0$ gilt (Achtung, auch hier ist mit $0$ eigentlich die Äquivalenzklasse $[0]$ gemeint). Dann können wir ganz einfach Umstellen. Aus $v^2- \\tilde\\eta(v) = 0 \\ \\forall v\\in M$ erhalten wir also $v^2 = \\tilde\\eta(v)$ für beliebige $v$. " ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "f660a782-879d-463d-88e2-d92fb1d9d928", "metadata": {}, "source": [ "Wir identifizieren demnach Bivekotren mit Skalaren. Sowohl Bivektoren, als auch Skalare sind Elemente der Tensoralgebra." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "5b4d6e7b-c622-4172-8abc-8a97f65c5583", "metadata": {}, "source": [ "Wir erhalten folgende Eigenschaft direkt: $\\gamma_0^2=1$, $\\gamma_1^2=\\gamma_2^2=\\gamma_3^2=-1$ und $\\gamma_i\\otimes\\gamma_j=-\\gamma_j\\otimes\\gamma_i$ für $i\\not=j$.\n", "\n", "Mit den Rechenregeln für quadratische Formen (diese lassen sich aus den Rechenregeln für Bilinearformen herleiten), erhält man eine Vektorraumbasis für die $STA$, bestehend aus:\n", "- einem Skalar $\\{1\\}$\n", "- vier Vektoren $\\{\\gamma_0,\\gamma_1,\\gamma_2,\\gamma_3\\}$\n", "- seches Bivektoren $\\{\\gamma_0\\otimes\\gamma_1,\\gamma_0\\otimes\\gamma_2,\\gamma_0\\otimes\\gamma_3, \\gamma_1\\otimes\\gamma_2, \\gamma_2\\otimes\\gamma_3, \\gamma_3\\otimes\\gamma_1\\}$\n", "- vier sogenannten Pseudovektoren $\\{\\star\\otimes\\gamma_0,\\star\\otimes\\gamma_1,\\star\\otimes\\gamma_2,\\star\\otimes\\gamma_3\\}$ mit $\\star = \\gamma_0\\otimes\\gamma_1\\otimes\\gamma_2\\otimes\\gamma_3$\n", "- einem sogenannten Pseudoskalaren $\\{\\star\\}$ mit derselben Definition wie im letzten Punkt\n", "\n", "Sie sind herzlich dazu angehalten, das selber nachzurechnen. Wir ersparen Ihnen allerdings die Rechnung, da sie recht aufwendig ist.\n", " " ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "3ade679a-b32d-4460-8bcc-f9a3d406707b", "metadata": {}, "source": [ "
\n", " \n", "### Rückblick-Aufgabe\n", "***\n", "Der Minkowski-Raum $M$ ist definitionsgemäß das freie, reelle Erzeugnis der Menge $\\{\\gamma_0,\\gamma_1,\\gamma_2,\\gamma_3\\}$. Wählen Sie die Dirac-Matrizen als Basis. Sie sind wie folgt gegeben:\n", " \n", "$\\gamma_0' = \\left( \\begin{matrix}\n", "1 & 0 & 0 & 0\\\\\n", "0 & 1 & 0 & 0 \\\\\n", "0 & 0 & -1 & 0 \\\\\n", "0 & 0 & 0 & -1\n", "\\end{matrix} \\right)$,\n", "$\\gamma_1' = \\left( \\begin{matrix}\n", "0 & 0 & 0 & 1\\\\\n", "0 & 0 & 1 & 0 \\\\\n", "0 & -1 & 0 & 0 \\\\\n", "-1 & 0 & 0 & 0\n", "\\end{matrix} \\right)$,\n", "$\\gamma_2' = \\left( \\begin{matrix}\n", "0 & 0 & 0 & -i\\\\\n", "0 & 0 & i & 0 \\\\\n", "0 & i & 0 & 0 \\\\\n", "-i & 0 & 0 & 0\n", "\\end{matrix} \\right)$, \n", "$\\gamma_3' = \\left( \\begin{matrix}\n", "0 & 0 & 1 & 0\\\\\n", "0 & 0 & 0 & -1 \\\\\n", "-1 & 0 & 0 & 0 \\\\\n", "0 & 1 & 0 & 0\n", "\\end{matrix} \\right)$,\n", " \n", "wobei $i^2=-1$.\n", " \n", "1. Zeigen Sie, dass $\\gamma_0'^2=1$, $\\gamma_1'^2=\\gamma_2'^2=\\gamma_3'^2=-1$ und $\\gamma_i'*\\gamma_j'=-\\gamma_j'*\\gamma_i'$ für $i\\not=j$ gilt, wenn man die Einheitsmatrix mit $1$ identifiziert.\n", "2. $V=\\mathbb{C}^{4\\times4}$ ist ein $\\mathbb{R}$-Vektorraum. $STA$ lässt sich mit einem Untervektorraum aus $V$ identifizieren. Geben Sie an womit.\n", " \n", "Bemerkung: Was in der Tensoralgebra das Tensorprodukt war, ist hier die Matrixmultiplikation. Wie überführen also $\\gamma_i \\otimes \\gamma_j$ in $\\gamma_i'*\\gamma_j'$, wobei $*$ die Matrixmulitplikation bezeichne.\n", "\n", "\n", " \n", "
" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "id": "09c46917-2be5-4355-b432-733932d42ac9", "metadata": {}, "outputs": [], "source": [] } ], "metadata": { "kernelspec": { "display_name": "Python 3 (ipykernel)", "language": "python", "name": "python3" }, "language_info": { "codemirror_mode": { "name": "ipython", "version": 3 }, "file_extension": ".py", "mimetype": "text/x-python", "name": "python", "nbconvert_exporter": "python", "pygments_lexer": "ipython3", "version": "3.9.7" } }, "nbformat": 4, "nbformat_minor": 5 }